用样本的数字特征估计总体的数字特征

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28级数学“三段六环激情课堂”导学案
课题：用样本的数字特征估计总体的数字特征
学习目标
1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；2. 会用样本的数字特征估计总体的数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.
二、使用说明
1.了解目标要求，必须完成学习过程的1和2内容；可以尝试做学习过程3的内容；
2.初步学会程序框图的设计，把不明白的问题用红色笔记在学案上。
三、重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差；难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.
四. 学习过程
1.我自学，我学会
初中我们已经学过众数、平均数、中位数、方差的概念了，请自学课本P72-75，回答以下问题：
（1）众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据．（或出现次数 的那个数据）.
（2）中位数：样本数据中，累积频率为0. 5时所对应的样本数据（累积频率：样本数据小于某一数值的频率叫做该数值点的累积频率）．（或将数据按大小排列，位于最 的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的 作为中位数）
（3）平均数：样本数据的算术平均数.即 .
（4）标准差：设样本数据是，表示这组数据的平均数．到的距离是|-| (i=1，2，…，n)． 于是样本数据到平均数的“平均距离”是
由于上式含绝对值，运算不太方便，因此，通常改为如下公式来计算标准差：
即s= .
（5）方差：从数学的角度考虑，有时用标准差的平方s2（方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具： .
(6)给出一组数据：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，请用上述公式计算其平均数、中位数、众数和方差、标准差.

2.我合作，我会学
问题1.众数、中位数、平均数（请参考P72内容）
（1）观察课本P72的图2.2-5，回答：如何由频率分布直方图观察、估计样本数据的平均数？中位数？众数？
它们分别是多少？
（2）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60
名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，
…后画出如图的频率分布直方图.
观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的
及格率（60分及以上为及格）为____ _;
平均分为______________；
知识小结
(1)数字特征的优缺点：众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征；中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也成为缺点．因为这些极端值有时是不能忽视的．
(2)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．
问题2.方差与标准差（请参考P74内容）
①（请自学例题，体会方法）对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：
　　 甲：27，38，30，37，35，31；
　　 乙：33，29，38，34，28，36.
　 　根据以上数据，试判断他们谁更优秀.
研析： 根据统计知识可知，需要计算两组数据的与，然后加以比较，最后再作出判断.
　　，
　　，
　　
　　∴，，
　　由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.
【技巧点拨】（1）现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道（或不可求）的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差；
（2）平均数放映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
②甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）
甲的成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
丙的成绩
环数
7
8
9
10
频数
4
6
6
4
知识小结
（1）标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
（2）标准差、方差的取值范围，[0,+∞)，标准差、方差为0时，样本各数据全相等．表明数据没有波动，数据没有离散性．
（3）因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度．所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
3.我演练，我达标
A层
1. 已知某赛季甲、乙两名篮球运动员
每场比赛得分的茎叶图(如图所示)，
则甲、乙两人得分的中位数之和
是 （　　）
A．62 　　 B．63 　
C．64 　　　 D．65
2. 频率分布直方图中最高小矩形的中间位置所对的数字特征是( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.标准差
3. 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( )
( A ) 9.4, 0.484 ( B ) 9.4 , 0.016 ( C ) 9.5 , 0.04 ( D ) 9.5, 0.016
4. 某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M，如果把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M：N为（ ）.
A．40：41 B．41：40 C．2 D．1
5. 已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是2，则xy= .
B层
1. 甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙，则下列结论正确的是（ ）
A．X甲B．X甲>X乙；甲比乙成绩稳定
C．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定
D．X甲2. 下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
A．， B．， C．， D．，
3. 数据的方差为，则数据的方差为（　　）
A． B． C． D．
4.我总结，我提升
1.如何求众数、中位数、平均数？
2.如何求方差、标准差？请写出公式，并说明由方差或标准差如何判断数据的稳定性？