8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计同步训练-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（word含解析）

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（同步训练）
1.对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　)
2.在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和(　　)
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
3.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
学生 甲 乙 丙 丁
R2 0.95 0.50 0.85 0.77
则建立的回归模型拟合效果最好的同学是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
4.若一函数模型为y＝sin2α＋2sin α＋1，为将y转化为t的回归直线方程，则需作变换t=(　　)
A．sin2α B．(sin α＋1)2
C．2 D．以上都不对
5.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表：
学生 甲 乙 丙 丁
散点图
残差平方和 115 106 124 103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2020年初，新冠肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
周数x 1 2 3 4 5
治愈人数y 2 17 36 103 142
由表格可得y关于x的非线性经验回归方程为＝6x2＋，则此回归模型第4周的残差为(　　)
A．13 B．－13
C．5 D．－5
7.已知变量y关于x的非线性经验回归方程为＝ex－0.5，其一组数据如下表所示：
x 1 2 3 4
y e e3 e4 e6
若x＝5，则预测y的值可能为(　　)
A．e5 B．
C．e7 D．
8.某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称 A B C D E
销售额x/千万元 3 5 6 7 9
利润额y/百万元 2 3 3 4 5
已知y关于x的经验回归方程为＝0.5x＋0.4，则当销售额为5千万元时，残差为________
9.以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________
10.对两个具有非线性相关关系的变量x，y进行回归分析，设μ＝ln y，υ＝(x－4)2，利用二乘法得到μ关于υ的经验回归方程为μ＝－0.5υ＋2，则的最大值是________
11.某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(单位：万元)和销售量y(单位：万台)的数据如下：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19
销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程；
(2)若用y＝c＋d模型拟合y与x的关系，可得回归方程＝1.63＋0.99，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好．
12．BMI指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数值，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．在我国，BMI＜18.5，认为体重过轻；18.5≤BMI＜24，认为体重正常；BMI≥24，认为体重超重．某中小学生成长与发展机构从某市的320名高中男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如下表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高x/cm 166 167 160 173 178 169 158 173
体重y/kg 57 58 53 61 66 57 50 66
(1)根据最小二乘法求得的经验回归方程为＝0.8x－75.9，利用已经求得的经验回归方程完善下列残差表，并求变化的贡献值R2(保留两位有效数字)；
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高x/cm 166 167 160 173 178 169 158 173
体重y/kg 57 58 53 61 66 57 50 66
残差 0.1 0.3 0.9 －1.5 －0.5
(2)通过残差分析，对于残差最大(绝对值)的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误．已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58 kg.请重新根据最小二乘法，求出y关于x的经验回归方程．
参考数据：＝78 880，＝226 112，＝168，＝58.5，＝226.
参考答案：
1.A　
解析：用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.B　
解析：因为R2＝，所以当R2越大时，越小，即残差平方和越小．
3.A　解析：R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
4.B　
解析：因为y是关于t的回归直线方程，实际上就是y关于t的一次函数，又因为y＝(sin α＋1)2，若令t＝(sin α＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．
5.D　
解析：根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小，则由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
6.A　
解析：因为2＝(1＋4＋9＋16＋25)＝11, ＝(2＋17＋36＋103＋142)＝60，所以＝60－6×11＝－6，则y关于x的非线性经验回归方程为＝6x2－6.取x＝4，得＝6×42－6＝90，所以此回归模型第4周的预报值为90，则此回归模型第4周的残差为103－90＝13.
7.D　
解析：将式子两边取对数，得到ln ＝x－0.5.令z＝ln ，得到z＝x－0.5，列出x，z的取值对应的表格如下：
x 1 2 3 4
z 1 3 4 6
则＝＝2.5，＝＝3.5.∵(，)满足z＝x－0.5，∴3.5＝×2.5－0.5，解得＝1.6，∴z＝1.6x－0.5，∴＝e1.6x－0.5.当x＝5时，＝e1.6×5－0.5＝e.
8.答案：0.1　
解析：当x＝5时，＝0.5×5＋0.4＝2.9，表格中对应y＝3，于是残差为3－2.9＝0.1.
9.答案：e4　
解析：由题意，得ln(cekx)＝0.3x＋4，所以ln c＋kx＝0.3x＋4，比较两边系数，得ln c＝4，所以c＝e4.
10.答案：e2　
解析：将μ＝ln y，υ＝(x－4)2代入经验回归方程μ＝－0.5υ＋2，得＝e－0.5(x－4)2＋2.
当x＝4时，＝e－0.5(4－4)2＋2＝e2，故最大值为e2.
11.解：(1)∵＝8，＝4.2，＝279.4，＝708，
∴＝＝＝0.17，
＝－＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y关于x的线性回归方程为＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴选用＝1.63＋0.99更好．
12．解：(1)由题知经验回归方程为＝0.8x－75.9，则6＝57－0.8×169＋75.9＝－2.3，7＝50－0.8×158＋75.9＝－0.5，8＝66－0.8×173＋75.9＝3.5.完善残差表如下：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高x/cm 166 167 160 173 178 169 158 173
体重y/kg 57 58 53 61 66 57 50 66
残差 0.1 0.3 0.9 －1.5 －0.5 －2.3 －0.5 3.5
R2＝＝1－×(0.01＋0.09＋0.81＋2.25＋0.25＋5.29＋0.25＋12.25)≈0.91.
(2)通过残差分析知，残差最大(绝对值)的那组数据为第8组，所以y8＝58，
所以修改后＝78 880－173×66＋173×58＝77 496，
＝×(8×58.5－66＋58)＝57.5，
所以＝＝＝0.675，
＝－＝57.5－0.675×168＝－55.9.
所以y关于x的经验回归方程＝0.675x－55.9.