导数在研究函数中的应用基础训练
一、单选题
1．函数的最小值为（ ）
A． B．1 C．3 D．17
2．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值为 B．的极大值为
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
3．函数在上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．已知函数，则（ ）
A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值
C．函数的极大值点为，无极小值点 D．函数的极小值点为，无极大值点
5．函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
6．函数在处有极值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知函数在处取得极值，则实数_________．
8．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
9．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
10．已知函数f（x）＝x3+ax+b的图象是曲线C，直线y＝kx+1与曲线C相切于点（1，3）.
(1)求函数f（x）的解析式；
(2)求函数f（x）的递增区间.
11．设，曲线在点（1，f（1））处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f（x）的单调区间和极值．
12．已知函数 的图像在处的切线斜率为，且 时， 有极值.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值.导数在研究函数中的应用基础训练解析
一、单选题
1．函数的最小值为（ ）
A． B．1 C．3 D．17
解析∵函数，
∴，
∴时，，时，，
∴在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
∴函数在时有极大值，在时有极小值，
又，
∴函数的最小值为.
故选：A.
2．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极小值为 B．的极大值为
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
解析：因为，所以，
令，得或；令，得；
所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减，
所以在处有极大值，极大值为；
在处有极小值，极小值为.
故选：B.
3．函数在上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
解析：，令，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.
故选：A
4．已知函数，则（ ）
A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值
C．函数的极大值点为，无极小值点 D．函数的极小值点为，无极大值点
解析：的定义域为，
，
所以在区间递增；在区间递减.
所以是的极大值，无极小值.极大值点为，无极小值点.
故选：A
5．函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
解析：由题意，函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，
要使得函数有三个零点，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
6．函数在处有极值为，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
解析：因为函数，
所以，
所以，，
解得a=6,b=9，
=-3，
故选：B
二、填空题
7．已知函数在处取得极值，则实数_________．
解析：∵
∴，则，，
当时，，
时，， 时，，
所以时，取得极值，
所以实数.
故答案为：.
8．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：因为，所以在上恒成立，即，解得，故实数的取值范围是．
故答案为：
9．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
解析：，
由于函数有三个单调区间，
所以有两个不相等的实数根，所以.
故答案为：
三、解答题
10．已知函数f（x）＝x3+ax+b的图象是曲线C，直线y＝kx+1与曲线C相切于点（1，3）.
(1)求函数f（x）的解析式；
(2)求函数f（x）的递增区间.
解析(1)∵切点为（1，3），∴k+1＝3，得k＝2，
∵f'（x）＝3x2+a，∴f'（1）＝3+a＝2，得a＝﹣1，
则f（x）＝x3﹣x+,由f（1）＝3得b＝3.∴f（x）＝x3﹣x+3.
(2)因为，可得f′（x）＝3x2﹣1，令3x2﹣1＞0，解得x或x.
所以函数f（x）的递增区间（﹣∞，），（，+∞）.
11．设，曲线在点（1，f（1））处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数f（x）的单调区间和极值．
解析（1）∵，则，
又∵，故可得，解得，
经检验符合题意，
所以；
(2)由（1）可知，，
则，
当或时，，当时，，
故可得f（x）在区间（0，）和（1，＋∞）单调递减，在区间（，1）单调递增，
故f（x）的极大值为，f（x）的极小值为．
12．已知函数 的图像在处的切线斜率为，且 时， 有极值.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值.
解析(1)解：求导得，
因为在出的切线斜率为，则，即①
因为时， 有极值，则.即②
由①②联立得 ，所以.
(2)解：由（1），令解得或，
列表如下：
极大值 极小值
所以，在［－3，2］上的最大值为，最小值为.
