青岛版八年级数学上册2.5 角平分线的性质 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
（一）知识回顾
1、角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
o
B
C
A
1
2
符号语言：
∵射线OC是∠AOB的角平分线
∴ ∠1= ∠2
（一）知识回顾
2、点到直线距离:
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.
O
P
A
B
垂线段PO的长度
1.圆可以看做是
的集合.
学过的集合定义：
2.线段垂直平分线可以看做是
的集合
到定点距离等于定长的所有点
到线段两端点的距离
相等的所有点
在纸上任意画一个∠BAC，把它沿经过点 A 的某条直线对折，使角的两边 AB 与 AC 重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为 AD.你发现∠BAC 是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
C
B
A
D
活动一：
结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线
是它的对称轴.
探究角的轴对称性
（二）探究新知
请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什么发现？说明你的理由.
结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
探索角平分线的第一个性质
（二）探究新知
活动二：
C
B
M
A
P
N
D
已知：AD是∠BAC的角平分线,点P是AD 上任意一点，PM⊥AB,PN⊥AC
求证：PM=PN
C
B
M
A
P
N
D
1
2
证明：∵AD平分∠BAC
∴ ∠1= ∠2
∵PM⊥AB PN⊥AC
∴ ∠ AMP=∠ANP=90
在△AMP与△ANP中
∵ ∠1= ∠2
∠ AMP=∠ANP
AP=AP
∴ △AMP ≌ △ANP（AAS）
∴PM=PN
角平分线的性质1
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
C
B
M
A
P
N
D
应用所具备的条件：
（1）AD为角的平分线；
（2）点P在该平分线上；
（3）PM⊥AB PN⊥AC
作用：
判断线段相等的依据.
符号语言：
∵AD平分∠BAC
PM⊥AB PN⊥AC
∴PM=PN
判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE . ( )
2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则
PE=PF.( )
3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA
的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( )
测试一:
（1题）
（2题）
（3题）
×
√
×
反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
B
结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角
的平分线上.
自学探究三：
角平分线的性质2
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）点P在∠BAC的内部；
（2）PM⊥AB PN⊥AC；
（3）PM=PN
作用：
判断点是否在角平分线上的依据.
符号语言：
∵ PM⊥AB PN⊥AC
PM=PN
∴点P在∠BAC的角平分线上
∴∠1=∠2
C
B
M
A
P
N
D
1
2
所以：
角的平分线可以看作是
的集合
在角的内部到角两边距离相等的所 有点
如图，P 是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点 E，F，且PE = PF . Q是 OP 上的任意一点， QM⊥OA， QN⊥OB，垂足分别为点 M 和 N . QM与QN 相等吗？为什么？
测试二.
测试二:
解：相等
证明：∵ PE⊥OA,PF⊥OB,
PE=PF
∴ OP为∠AOB的平分线,（角平分线的性质2）
∵ QM⊥OA,QN⊥OB
∴ QM=QN（角平分线的性质1)
作法:
１.以A为圆心,适当长为半径作弧,分别交这个角的两边于E,F两点;
３.作射线AP
已知：∠BAC
求作：∠BAC 的平分线.
射线AP就是所求作的∠BAC的平分线
（二）探究新知
活动四: 用尺规作角的平分线
２.分别以E,F为圆心,大于EF一半的长为半径
作弧,两弧交于点P;
A
B
C
用直尺和圆规作一个角的平分线，如上图所示，则能说明∠BAP=∠CAP的依据（ ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角的两边相等
思考:
A
请说出你本节课的收获,
与大家一块分享！！
（三）课堂小结
课 堂 小 结
1、角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴.
2、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
3、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
4、如何用尺规作一个角的平分线.
（四）达标测试
1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则 M到OB的距离为　　　㎝。
3. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON，
垂足为 A，PA = 2. Q是边 OM 上的
一个动点,则线段 PQ的最小值（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，
DE⊥AB，∠1=∠2，且
AC=6cm，那么线段BE是∠ABC
的　　 　 ，AE+DE=　　　。
1.5
角平分线
6cm
B
4.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 分别为D，E，下列结论错误的是（　　）
A、PD＝PE　　 B、OD＝OE　
C、∠DPO＝∠EPO　　D、PD＝OD
D
5、任意画一个三角形，用尺规分别作出它的三个内角平分线.
验证三角形三条角平分线交于一点.
走进生活
1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗 你是怎样思考的 你是如何证明的
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。