初中数学·人教版·八年级下册——本章检测
第十八章 平行四边形 本章检测
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2020重庆九龙坡期末)如图18-3-1,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是 ( )
图18-3-1
A.AO=DO B.CD=AB
C.∠BAD=∠BCD D.AD∥BC,且AD=BC
2.(2021山东烟台一中期末)已知在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AD=BC B.AC=BD C.∠A=∠C D.∠A=∠B
3.(2020广东广州中考)如图18-3-2,△ABC中,点D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,连接DE.若∠C=68°,则∠AED= ( )
图18-3-2
A.22° B.68° C.96° D.112°
4.(2021河南焦作一中期末)如图18-3-3,菱形ABCD的AB边中点M到对角线交点O的距离为3 cm,则菱形ABCD的周长为 ( )
图18-3-3
A.10 cm B.12 cm C.16 cm D.24 cm
5.已知一矩形的两邻边长分别为10 cm和15 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,则这两部分的长分别为 ( )
A.6 cm和9 cm B.5 cm和10 cm
C.4 cm和11 cm D.7 cm和8 cm
6.如图18-3-4,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,添加下列条件中的一个,能使菱形ABCD成为正方形的是 ( )
图18-3-4
A.BD=AB B.AC=AD
C.∠ABC=90° D.OD=AC
7.(2021上海模拟)在四边形ABCD中,AD∥BC,下列选项中,不能判定四边形ABCD为矩形的是 ( )
A.AD=BC且AC=BD B.AD=BC且∠A=∠B
C.AB=CD且∠A=∠C D.AB=CD且∠A=∠B
8.(2020广东茂名高州七校模拟联考)如图18-3-5,△ABC中,∠A+∠B=90°,AD=DB,CD=3,则AB的长度为 ( )
图18-3-5
A.3 B.4 C.5 D.6
9.(2021重庆九十五中二模)如图18-3-6,在 ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是菱形,这个条件是 ( )
图18-3-6
A.OM=AC B.MB=MO
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
10.(2021江苏泰州中考)如图18-3-7,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP= ( )
图18-3-7
A.2α B.90°-α C.45°+α D.90°-α
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.如图18-3-8,三位同学分别站在一个直角三角形ABC的三个顶点处做投圈游戏,目标物放在斜边AC的中点O处,已知AC=6 m,则点B到目标物的距离是 .
图18-3-8
12.(2020辽宁营口中考)如图18-3-9,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA=1,OB=2,则菱形ABCD的面积为 .
图18-3-9
13.如图18-3-10,两个完全相同的三角板ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是 (写出一个即可).
图18-3-10
14.(2019广西梧州中考)如图18-3-11,已知在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,F、G分别是AD、AE的中点,且FG=2 cm,则BC的长度是 cm.
图18-3-11
15.(2021北京中考)如图18-3-12,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF=EC,只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是 (写出一个即可).
图18-3-12
16.(2021浙江嘉兴中考)如图18-3-13,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB⊥AC,AH⊥BD于点H,若AB=2,BC=2,则AH的长为 .
图18-3-13
17.(2021江苏连云港中考)如图18-3-14,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为 .
图18-3-14
18.(2020山东枣庄中考)如图18-3-15,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是 .
图18-3-15
三、解答题(共46分)
19.(2020湖北黄冈中考)(8分)已知:如图18-3-16,在 ABCD中,点O是CD的中点,连接AO并延长,交BC的延长线于点E,求证:AD=CE.
图18-3-16
20.(2021江苏连云港中考)(8分)如图18-3-17,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.
图18-3-17
21.(2021云南昆明八中期末)(10分)如图18-3-18,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别交于点M、N.
(1)求证:四边形BNDM是菱形;
(2)若BD=24,MN=10,求菱形BNDM的周长.
图18-3-18
22.(2020北京中考)(10分)如图18-3-19,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
图18-3-19
23.(2020河南南阳南召期末)(10分)如图18-3-20,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D为AB的中点时.
①四边形BECD是 形;
②当∠A等于 度时,四边形BECD是正方形.
图18-3-20
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一、选择题
1.A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,CD=AB,∠BAD=∠BCD,AD∥BC,AD=BC,∴选项A符合题意,选项B、C、D不符合题意.故选A.
2.C 如图所示,∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,
当∠A=∠C时,∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.故选C.
3.B ∵点D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,∴DE∥BC,∵∠C=68°,∴∠AED=∠C=68°.故选B.
4.D ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=CD=BC,BO=DO.
又∵点M是AB的中点,∴AD=2OM=6 cm,
∴菱形ABCD的周长=4×6=24 cm,故选D.
5.B 如图,
∵在矩形ABCD中,BE是角平分线,∴∠ABE=∠EBC.
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB.
∵点E分长边为两部分,∴AD>AB,
∴AD=15 cm,AB=10 cm,
∴AE=AB=10 cm,∴DE=AD-AE=5 cm.故选B.
6.C 要使菱形成为正方形,只要菱形满足以下条件之一即可:(1)有一个内角是直角;(2)对角线相等,即∠ABC=90°或AC=BD.故选C.
7.C ∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选项A不符合题意;
∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形,故选项B不符合题意;
∵AD∥BC,∴∠A+∠B=∠C+∠D=180°,
∵∠A=∠C,∴∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形,故选项C符合题意;
∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,
∴AB⊥AD,AB⊥BC,即AB的长为AD、BC间的距离,
又∵AB=CD,∴CD⊥AD,∴∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是矩形,故选项D不符合题意.故选C.
8.D ∵△ABC中,∠A+∠B=90°,∴∠ACB=90°,
∵AD=DB,∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线,
∴AB=2CD=6.故选D.
9.C 对于选项C,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN,
∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,
∴四边形AMCN是平行四边形.
∵BD⊥AC,∴MN⊥AC,
∴四边形AMCN是菱形.故选C.
10.B ∵四边形PBEF为正方形,∴∠PBE=90°.
∵∠CBE=α,∴∠PBC=90°-α,
∵四边形APCD、四边形PBEF是正方形,
∴AP=CP,∠APF=∠CPB=90°,PF=PB.
在△APF和△CPB中,
∴△APF≌△CPB(SAS),∴∠AFP=∠PBC=90°-α,故选B.
二、填空题
11.答案 3 m
解析 ∵∠ABC=90°,点O是斜边AC的中点,
∴BO=AC=3 m.
12.答案 4
解析 在菱形ABCD中,∵OA=1,OB=2,
∴AC=2,BD=4,∴菱形ABCD的面积为×2×4=4.
13.答案 CB=BF(答案不唯一)
解析 由题意得CB∥EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以添加CB=BF,答案不唯一.
14.答案 8
解析 ∵F、G分别是AD、AE的中点,∴DE=2FG=4 cm,
∵D、E分别是AB、AC的中点,∴BC=2DE=8 cm.
15.答案 AE=AF(答案不唯一)
解析 答案不唯一,当添加条件AE=AF时,
在矩形ABCD中,AD∥BC,即AF∥CE,
∵AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形,
∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形.
16.答案
解析 ∵AB⊥AC,AB=2,BC=2,
∴AC==2,
在 ABCD中,OA=OC,OB=OD,∴OA=OC=,
在Rt△OAB中,OB==,
又AH⊥BD,∴OB·AH=OA·AB,
即×·AH=××2,解得AH=.故答案为.
17.答案
解析 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,DO=BO.
∵AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,
∴AD===5.
又∵OE⊥AD,∴=,
∴=,解得OE=,故答案为.
18.答案 8
解析 如图,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC.
∵AE=CF=2,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
∴四边形BEDF为平行四边形,
∵BD⊥EF,∴四边形BEDF为菱形,∴DE=DF=BE=BF.
∵AC=BD=8,∴OE=OF==2,OD=OB=4,
∴由勾股定理得DE===2,
∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8.
三、解答题
19.证明 ∵点O是CD的中点,∴OD=OC.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠OCE.
在△ADO和△ECO中,
∴△ADO≌△ECO(ASA),∴AD=CE.
20.证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC.
∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE.
∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.
∵AB=AE,∴DC=AE,∴平行四边形ACED是矩形.
21.解析 (1)证明:∵AD∥BC,∴∠DMO=∠BNO.
∵MN垂直平分BD,∴OB=OD,MN⊥BD.
在△MOD和△NOB中,
∴△MOD≌△NOB(AAS),∴OM=ON,
又OB=OD,∴四边形BNDM是平行四边形.
又MN⊥BD,∴四边形BNDM是菱形.
(2)∵四边形BNDM是菱形,BD=24,MN=10,
∴BM=BN=DM=DN,OB=BD=12,OM=MN=5.
在Rt△BOM中,由勾股定理得BM===13,
∴菱形BNDM的周长=4BM=4×13=52.
22.解析 (1)证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴DO=BO.
∵E是AD的中点,∴EO∥AB.
∵EF∥OG,∴四边形OEFG是平行四边形.
∵EF⊥AB,∴∠EFB=90°,∴四边形OEFG是矩形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AB=AD=10.
在Rt△AOD中,E为AD的中点,
∴AE=AD=5,OE=AD=5.
在Rt△AFE中,∵EF=4,
∴AF===3.
∵四边形OEFG是矩形,
∴FG=EO=5,
∴BG=AB-AF-FG=2.
23.解析 (1)证明:∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB,∴AC∥DE.
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,∴CE=AD.
(2)①∵D为AB的中点,∴AD=BD.
∵CE=AD,∴BD=CE.
∵BD∥CE,∴四边形BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=AB=BD,∴四边形BECD是菱形.
②当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.
理由:由①知四边形BECD是菱形.
∵∠ACB=90°,
∴当∠A=45°时,△ABC是等腰直角三角形.
∵D为AB的中点,
∴CD⊥AB,∴∠CDB=90°,
∴四边形BECD是正方形.
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