2021-2022学年沪科版数学九年级下册24.6正多边形与圆 课后提升（word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年沪科版数学九年级下册24.6正多边形与圆 课后提升（word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-26 09:43:45 | ||
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文档简介
正多边形与圆
一、单选题
1．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）
A．不能构成三角形 B．这个三角形是等边三角形
C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是等腰三角形
2．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，则这个正多边形为（ ）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
3．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，正六边形ABCDEF内接于，已知的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（ ）
A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm
7．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
8．如图，正五边形内接于，点P为（点P与点D，点E不重合），连接，DG⊥PC，垂足为G，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正六边形的边长为6，点为正六边形的中心，将半径为的⊙M在正六边形的内部沿边逆时针滚动，连接，过点作，并且，连接⊙M在滚动的过程中，面积的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．8
10．如图，的内接正五边形的对角线与相交于点G，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是正六边形ABCDEF的外接圆，P为上除C，D外的任意一点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
12．如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF内接于，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为__________．
14．如图，正方形内接于圆，，则图中阴影部分的面积是 __．
15．如图，AB、CD为一个正多边形的两条边，O为该正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则该正多边形的边数为 _____．
16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．
17．如图，是的内接正六边形的一边，点B在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正n边形的一边，则_____．
三、解答题
18．如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，求正方形ABCD的边长和边心距．
19．如图，在圆内接正三角形中,若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC的面积的．
20．如图，的半径为R，正方形，正方形分别是的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比和面积比．
21．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动．
（1）求图①中的度数
（2）图②中的度数是______，图③中的度数是______；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______．
22．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．
（1）特例感知：在图①中，若，求的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：
①作两条相互垂直的直径、；
②作的中点P，以P为圆心，为半径画弧交于点Q；
③以点A为圆心，为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦，连接；
则五边形为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段的黄金分割点？请说明理由．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
解：如图，∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆，边心距分别为OC，OE，OG，OA=1，∠AOC=60°，∠AOE=45°，∠AOG=30°，
∴OC=OAcos60°=，OE= OAcos45°=，OG= OAcos30°=，
∵，
∴这个三角形是直角三角形，
故选C．
2．C
解：正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，
则OC=，OA=OB=2，
在Rt△AOC中，cos∠AOC==，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°，
则正多边形边数是：=4．
故选：C．
3．B
解：如图，连接交于点,连接，，，
△ABC是圆O的内接正三角形，
,，
，
，
是BC的中点，
，
，
，
是BC的中点，AB＝4，
，
设，则（），
，
即，
解得，
，
，
，
在中
，
．
故选B．
4．D
解：如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
5．C
解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH=AB=1，
∴OH=AH=，
故选C．
6．D
解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于
设半径为r，即OA=OB=AB=r，
OM=OA sin∠OAB=，
∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），
∴△AOB的面积为（cm2），
即，
，
解得r=4，
故选：D．
7．C
解：
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故选：C．
8．B
解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD=90°，
∴∠PDG=90°-36°=54°，
故选：B．
9．D
解：当与正六边形的两边AB、BC相切时，OM值最大，
设与AB相切于点N，连接MN，OA，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，，
在中，∵，，
∴，，
∴，
∴面积的最大值，
故选：D．
10．D
解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG＝x，
易知：∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°，∠BAG＝∠AGB＝72°，
∴AB＝BG＝AE＝2，
∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴，
∴AE2＝EG EB，
∴，
解得x＝ 1＋或x＝ 1 （舍去）．
∴EG＝-1．
故选：D．
11．D
解：连接OC、OD，如图所示：
∵是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴，
P为上除C，D外的任意一点，
∴，
∴，
故选：D．
12．A
解：连接OE、OC，过点O作OH CE于H
在六边形ABCDEF中
AF=FE=DE=DC=CB=AB
同理，
是等边三角形
阴影部分的面积=3
故选：A．
13．##
解：如图，为等边三角形，为的外心，
过点，
故答案为：
14．
解：连接、，
四边形是正方形，
，，
．
所以阴影部分的面积．
故选：．
15．15##十五
解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝12°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，
而360°÷24°＝15，
∴这个正多边形为正十五边形，
故答案为：15．
16．36
解：连接OA，OB，OB交AF于J．
∵五边形ABCDE是正五边形，OF⊥BC，
∴，
∴∠AOB＝72°，∠BOF=∠AOB＝36°，
∴∠AOF＝∠AOB +∠BOF=108°，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝＝36°
故答案为：36．
17．15
解：∵是的内接正六边形的一边，是的内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∵是的内接正n边形的一边，
∴
故答案为：15．
18．边长为，边心距为
解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，
∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，
∴∠BOC==90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，
∴BE=OE．
在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得
∵OE2+BE2=OB2,
∴OE2+BE2=36,
∴OE= BE=，
∴BC=2BE=，
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．
19．见解析
解：如图：连接OA、OB、OC，
由正多边形和圆的性质可得△OAB≌△OBC≌△OCA．
∴ ∠1＝∠2．
设OD交BC于F，OE交AC于G，则∠AOC＝∠3+∠4＝120°，
∠DOE＝∠5+∠4＝120°，
∴ ∠3＝∠5．
在△OAG和△OCF中，
∴ △OAG≌△OCF．
∴ ．
20．，
解：连接OA，过点O作OM⊥AD于D，
∵的半径为R，
∴OA=R，
∵正方形是的内接正方形，
∴，
∴△OAM是等腰直角三角形，，
∴，，
∴ =，
∴=．
．
21．（1）120°；（2）90°，72°；（3）
解：（1）∵是正三角形，
∴，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，
∴，
∴；
（2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理，
，
∴；
由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理，
∴，
∴；
故答案为：90°；72°；
（3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=；
故答案为：；
22．（1）61.8；（2）是，理由见解析；（3）
解：（1）∵，
∴，
即，
解得：AC≈61.8；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，
∴OP=，
∴，
∴OQ=PQ-OP=，
∴MQ=OM-OQ=，
，
∴Q是线段OM的黄金分割点；
（3）正五边形的每个内角为：，
∴∠PEA=∠PAE=，
∴cos72°=，
∵点E是线段PD的黄金分割点，
∴，
又∵AE=ED，
∴，
∴cos72°=．
答案第1页，共2页
一、单选题
1．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（ ）
A．不能构成三角形 B．这个三角形是等边三角形
C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是等腰三角形
2．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，则这个正多边形为（ ）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
3．如图，△ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EF∥AB，若AB＝4，则DE的长为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，正六边形ABCDEF内接于，已知的 半径为2，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
6．如图，圆形螺帽的内接正六边形的面积为24cm2，则圆形螺帽的半径是（ ）
A．1cm B．2cm C．2cm D．4cm
7．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，⊙O是正五边形的外接圆，∠ADE的度数为（ ）
A．30° B．32° C．36° D．40°
8．如图，正五边形内接于，点P为（点P与点D，点E不重合），连接，DG⊥PC，垂足为G，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正六边形的边长为6，点为正六边形的中心，将半径为的⊙M在正六边形的内部沿边逆时针滚动，连接，过点作，并且，连接⊙M在滚动的过程中，面积的最大值是（ ）
A． B． C．6 D．8
10．如图，的内接正五边形的对角线与相交于点G，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是正六边形ABCDEF的外接圆，P为上除C，D外的任意一点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
12．如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF内接于，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为__________．
14．如图，正方形内接于圆，，则图中阴影部分的面积是 __．
15．如图，AB、CD为一个正多边形的两条边，O为该正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则该正多边形的边数为 _____．
16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝_____°．
17．如图，是的内接正六边形的一边，点B在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正n边形的一边，则_____．
三、解答题
18．如图，正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，求正方形ABCD的边长和边心距．
19．如图，在圆内接正三角形中,若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC的面积的．
20．如图，的半径为R，正方形，正方形分别是的内接正方形和外切正方形．求二者的边长比和面积比．
21．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动．
（1）求图①中的度数
（2）图②中的度数是______，图③中的度数是______；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______．
22．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点C把线段分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．
（1）特例感知：在图①中，若，求的长；
（2）知识探究：如图②，作⊙O的内接正五边形：
①作两条相互垂直的直径、；
②作的中点P，以P为圆心，为半径画弧交于点Q；
③以点A为圆心，为半径，在⊙O上连续截取等弧，使弦，连接；
则五边形为正五边形．
在该正五边形作法中，点Q是否为线段的黄金分割点？请说明理由．
（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点E是线段的黄金分割点，请利用题中的条件，求的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
解：如图，∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆，边心距分别为OC，OE，OG，OA=1，∠AOC=60°，∠AOE=45°，∠AOG=30°，
∴OC=OAcos60°=，OE= OAcos45°=，OG= OAcos30°=，
∵，
∴这个三角形是直角三角形，
故选C．
2．C
解：正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，
则OC=，OA=OB=2，
在Rt△AOC中，cos∠AOC==，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°，
则正多边形边数是：=4．
故选：C．
3．B
解：如图，连接交于点,连接，，，
△ABC是圆O的内接正三角形，
,，
，
，
是BC的中点，
，
，
，
是BC的中点，AB＝4，
，
设，则（），
，
即，
解得，
，
，
，
在中
，
．
故选B．
4．D
解：如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
5．C
解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，
∵OA=OB，
∴∠AOH=30°，AH=AB=1，
∴OH=AH=，
故选C．
6．D
解：如图，由圆内接正六边形的性质可得△AOB是正三角形，过作于
设半径为r，即OA=OB=AB=r，
OM=OA sin∠OAB=，
∵圆O的内接正六边形的面积为（cm2），
∴△AOB的面积为（cm2），
即，
，
解得r=4，
故选：D．
7．C
解：
如上图所示，连接OA，OE
∵五边形ABCDE是正五边形
∴
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆
∴
故选：C．
8．B
解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD=90°，
∴∠PDG=90°-36°=54°，
故选：B．
9．D
解：当与正六边形的两边AB、BC相切时，OM值最大，
设与AB相切于点N，连接MN，OA，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，，
在中，∵，，
∴，，
∴，
∴面积的最大值，
故选：D．
10．D
解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，设EG＝x，
易知：∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°，∠BAG＝∠AGB＝72°，
∴AB＝BG＝AE＝2，
∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA，
∴△AEG∽△BEA，
∴，
∴AE2＝EG EB，
∴，
解得x＝ 1＋或x＝ 1 （舍去）．
∴EG＝-1．
故选：D．
11．D
解：连接OC、OD，如图所示：
∵是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴，
P为上除C，D外的任意一点，
∴，
∴，
故选：D．
12．A
解：连接OE、OC，过点O作OH CE于H
在六边形ABCDEF中
AF=FE=DE=DC=CB=AB
同理，
是等边三角形
阴影部分的面积=3
故选：A．
13．##
解：如图，为等边三角形，为的外心，
过点，
故答案为：
14．
解：连接、，
四边形是正方形，
，，
．
所以阴影部分的面积．
故选：．
15．15##十五
解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，
∵∠ADB＝12°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，
而360°÷24°＝15，
∴这个正多边形为正十五边形，
故答案为：15．
16．36
解：连接OA，OB，OB交AF于J．
∵五边形ABCDE是正五边形，OF⊥BC，
∴，
∴∠AOB＝72°，∠BOF=∠AOB＝36°，
∴∠AOF＝∠AOB +∠BOF=108°，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝＝36°
故答案为：36．
17．15
解：∵是的内接正六边形的一边，是的内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∵是的内接正n边形的一边，
∴
故答案为：15．
18．边长为，边心距为
解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，
∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，
∴∠BOC==90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，
∴BE=OE．
在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得
∵OE2+BE2=OB2,
∴OE2+BE2=36,
∴OE= BE=，
∴BC=2BE=，
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为，边心距为．
19．见解析
解：如图：连接OA、OB、OC，
由正多边形和圆的性质可得△OAB≌△OBC≌△OCA．
∴ ∠1＝∠2．
设OD交BC于F，OE交AC于G，则∠AOC＝∠3+∠4＝120°，
∠DOE＝∠5+∠4＝120°，
∴ ∠3＝∠5．
在△OAG和△OCF中，
∴ △OAG≌△OCF．
∴ ．
20．，
解：连接OA，过点O作OM⊥AD于D，
∵的半径为R，
∴OA=R，
∵正方形是的内接正方形，
∴，
∴△OAM是等腰直角三角形，，
∴，，
∴ =，
∴=．
．
21．（1）120°；（2）90°，72°；（3）
解：（1）∵是正三角形，
∴，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，
∴，
∴；
（2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理，
，
∴；
由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理，
∴，
∴；
故答案为：90°；72°；
（3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=；
故答案为：；
22．（1）61.8；（2）是，理由见解析；（3）
解：（1）∵，
∴，
即，
解得：AC≈61.8；
（2）Q是线段OM的黄金分割点，理由如下：
设⊙O的半径为a，则OA=ON=OM=a，
∴OP=，
∴，
∴OQ=PQ-OP=，
∴MQ=OM-OQ=，
，
∴Q是线段OM的黄金分割点；
（3）正五边形的每个内角为：，
∴∠PEA=∠PAE=，
∴cos72°=，
∵点E是线段PD的黄金分割点，
∴，
又∵AE=ED，
∴，
∴cos72°=．
答案第1页，共2页