2021－2022学年人教版下册八年级数学18.2.1矩形的性质巩固提升练习 (word版含解析）

18.2.1 矩形的性质 巩固提升练习－2021－2022学年人教版下册八年级数学
一、选择题
如图，四边形是矩形，，，点在第二象限，则点的坐标是
A. B. C. D.
如下图，在矩形中，对角线，相交于点，点、分别是、的中点，连接，若，，则的长是
A. B. C. D.
把一张宽为的长方形纸片折叠成如图所示的阴影图案，顶点，互相重合，中间空白部分是以为直角顶点，腰长为的等腰直角三角形，则纸片的长单位：为
A. B. C. D.
如下图所示，点是矩形的对角线的中点，点为的中点若，，则的周长为
A. B. C. D.
如图，矩形中，，，点、分别在、上，则的最小值是
A. B. C. D.
如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为
A. B. C. D.
下图是一块长方形花圃，测得，，现将它规划设计，要在中间划出一块四边形花圃种植玫瑰，要求点，，，依次是边，，，的中点，则种植玫瑰的花圃的周长为
A. B. C. D.
如图，已知在矩形中，对角线，相交于点，于点若则的度数是
A. B. C. D.
二、填空题
如图，矩形中，，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为______．
如图，在矩形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为________．
在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，，矩形的顶点，，分别在，，上，将矩形沿轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为______．
如下图，在矩形中，，对角线、相交于点，垂直平分于点，则的长为 ．
如果矩形的一边长为，一条对角线的长为，那么这个矩形的另一边长是 ，面积是 ．
三、解答题
已知，如图，，是矩形的两条对角线，求证：四边形是矩形．
如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点、．
求证：四边形是平行四边形；
当时，求的长．
如下图，在长方形中，，，在边上取一点，将折叠后点恰好落在边上的点处．
求的长；
边上是否存在一点，使的值最小若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
在矩形中，点在上，，，垂足为．
求证：
若，且，求的长．
参考答案与解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
过作轴于，过作轴于，得到，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，于是得到结论．
【解答】
解：过作轴于，过作轴于，
，
四边形是矩形，
，，
，
≌，
同理≌，
，，，
，，
，，，
，
点的坐标是，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据矩形性质得出，，，根据勾股定理求出，进而求出、，最后根据三角形中位线求出的长即可．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，，
，，
由勾股定理得：，
，，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，过点作于．
由题意是等腰直角三角形，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，，同法可证，
由题意，
，
故选：．
如图，过点作于，过点作于想办法求出，，，，即可解决问题．
本题考查翻折变换，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或特殊四边形解决问题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是勾股定理，矩形的性质，三角形的中位线定理的有关知识，易知是中位线，则，在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线的性质可求，从而求出周长．
【解答】
解：四边形是矩形，，，
，，
点是矩形对角线的中点，点为的中点，
，，
在中，利用勾股定理求得，
在中，利用勾股定理求得，
．
周长为．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接．
，，
由翻折可知，，，，
，
又，
的最小值就是线段的长，
在中，，，，
，，
的最小值为，
故选：．
如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接证明，推出，求出即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】 四边形是矩形，
，，
，由翻折的性质可知，，，
，
，设，则．
在中，
，
，
解得，
，
故选B．
7.【答案】
【解析】如下图，连接，，
四边形是矩形，
，，
，
，，，分别是，，，的中点，
，，，，
种植玫瑰的花圃的周长为，
故选C．
8.【答案】
9.【答案】
【解析】
【分析】
先根据勾股定理计算的长，当、、共线时，最小，即最短距离是此时的长．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据图形确定点到点的最短距离解决问题．
【解答】
解：如图，连接，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
由折叠得：，
，
当、、共线时，最小，
；
故答案为：．
10.【答案】
11.【答案】
【解析】解：点，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，，
，
点的坐标为；
矩形的面积为，
将矩形沿轴向右平移，矩形与重叠部分的面积为
矩形与不重叠部分的面积为，
如图，设，则，依题意有
，
解得负值舍去．
故矩形向右平移的距离为．
故答案为：．
由已知得出，由矩形的性质得出，在中，，由勾股定理得出，作出图形，根据三角形面积公式列出方程即可得出答案．
考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
13.【答案】
14.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形．
，即，
四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形．
【解析】本题主要考查矩形的性质和判定解答此题的关键是熟练掌握矩形的性质：对角线相等且互相平分，以及矩形的判定条件．
解答此题，根据矩形的性质可得，又，据此可得，可判定四边形为平行四边形，再证，可证得结论．
15.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
又因为，，
≌，
，
又因为，
四边形是平行四边形；
解：，四边形是平行四边形
四边形是菱形，
，，，
设，则
在中，根据勾股定理，有
，
解之得：，
，
在中，根据勾股定理，有
，
，
在中，根据勾股定理，有，
，
．
【解析】根据矩形的性质得到，由平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形；
推出四边形是菱形，得到，，，设，则根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
16.【答案】解：设，则，
，，
，
．
在中，由得，
解得，
即．
存在如下图，作点关于的对称点，连接，与的交点为，则点即为所求此时最小，且，
，
．
在中，，
的最小值为．
本题考查了翻折变换，勾股定理，最短路线问题求出是解题的关键．
先判断出，进而利用勾股定理求出，最后在，利用勾股定理，即可得出结论；
先作出点关于的对称点，进而求出，再利用勾股定理即可得出结论．
17.【答案】证明：在矩形中，
，
，
又，
，
，
又，
，
．
解：，，
，
，
，
．
【解析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
根据矩形得出推出，然后再证明即可解答；
根据，，得出，然后再利用直角三角形的性质进行解答即可．
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