2021-2022学年人教版九年级下册数学第二十七章相似单元小测 （word版含答案）

第二十七章-相似单元小测
一、单选题
1．如图所示，在直角坐标系中， ， ，△ABC为等腰直角三角形，以A为位似中心，把△ABC按相似比1：2放大，放大后的图形记作 ，则 的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在 ABCD中，E是AB边的中点，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，ΔABC的中线AD，BE交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则 等于（　　）
A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．3:5
4．如图，在△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（　　）
A．4 B． C．6 D．
5．如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与ΔOAB的位似比为 的位似图形ΔOCD.若点C的坐标为 ,则点A的坐标为(　　)
A． B． C． D．
6．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2米，CD=5米，点P到CD的距离是4米，则P到AB的距离为（ ）
A．2.5米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.2 米
7．如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，过点E作EG∥AD交BC于点G，则EG∶AF的值是（　　）
A． B． C． D．
8．若点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，则AC的长是（　　）
A．－4 B．9－
C．－3或9－ D．－4或12－
9．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，已知点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的动点，请你在不增加任何辅助图形与字母的情况下，补充一个条件，使图中的两个三角形是以点C为位似中心的位似图形，则可以补充的条件是　 　．
12．已知点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，△ADE，△DEC，△BCD的面积之比为4：2：3，∠ACD=∠ADE，CD=，则BC的长为　 　．
13．两个相似多边形的周长之比为2，面积之比为m，则m为　 　．
14．如图，小莉用灯泡照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，，纸片的面积为，则影子的面积为　 　．
15．若（x，y，z均不为0），则　 　．
16．如图，线段AB两个端点的坐标分别为，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点D的坐标为　 　．
17．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为　 　m．
18．如图所示，矩形AOBC与DOEF是位似图形，且O为位似中心，相似比为1∶，若A(0，1)、B(2，0)，则F点的坐标为　 　.
三、解答题
19．已知，求的值．
20．已知：如图，、分别是的边、上的点，，，，．求的长度．
21．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．
22．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE ，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．
23．如图，在中，点D为边上一点，连接，点H为中点，延长交边于点E，求证：．
24．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
25．如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解： 以 为位似中心，把 按相似比 放大，放大后的图形记作△ ，
，
点 是线段 的中点，
， ，
由勾股定理得： ，
，
根据相似知： 为等腰直角三角形，
，
A、当 时，由勾股定理得： ，选项错误，不符合题意；
B、当 时，由勾股定理得： ，选项正确，符合题意；
C、当 时，由勾股定理得： ，选项错误，不符合题意；
D、当 时，由勾股定理得： ，选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得AB=AB′，根据点A、B的坐标可得AB，进而得到AB′，易知△AB′C′为等腰直角三角形，结合勾股定理求出AC′，据此判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，过G点作GH⊥AB于点H，GF⊥DC于点F，
∵在平行四边形ABCD中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
又∵E是AB边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】过G作GH⊥AB于点H，GF⊥DC于点F，由平行线性质得∠EAG=∠ACD，∠AEG=∠CDG，证明△AEG∽△CDG，然后根据相似三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD，BE是中线，
∴AE=EC，BD=CD
∵EG∥BC，
∴，
∴，AG=DG
∴DF=2GF，
∴DG=AG=GF+DF=3GF
∴.
故答案为：B.
【分析】利用三角形的中线的定义可证得AE=EC，BD=CD，再利用平行线分线段成比例定理可推出AG=DG，DF=2GF，由此可得到AGF=3GF，即可求出GF与AG的比值.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：设线段AC的长为x
∵∠B=∠DAC，∠C=∠C
∴△ADC∽△BAC
∴
∴x2=32
∴x=4或x=-4（舍去）
故答案为：B.
【分析】根据题意，证明三角形相似，由相似三角形的对应边成比例，求出AC的长度即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得，
∴
∵
∴
∴A（3，2）
故答案为：D.
【分析】由位似可以得出，C点和A点的横坐标绝对值之比，等于纵坐标绝对值之比，等于位似比，从而得出结果。
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥CD，分别交AB于点F，交CD于点E
∵AB//CD
∴
∴
又∵AB//CD
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴米
故答案为：B．
【分析】过点P作PE⊥CD，分别交AB于点F，交CD于点E，易证△PAB∽△PCD，△PAF∽△PCE，然后根据相似三角形的性质进行求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】连接DE.
AD、BE是三角形的中线
∴DE∥AB，DE=AB
∴△DEF∽△ABF
∴
∴
∵ED∥AD
∴△EGC∽△ADC
∴
∴
∴EG∶AF=
故答案为：C
【分析】先求出△DEF∽△ABF，再利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，AB=8，
当时， ，
；
当时，，
即，
，
综上，AC的长为或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论，利用 点C为线段AB的黄金分割点， 求解即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：连接AF，
∵，，为中点，
∴，
∴点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，
在AB上取点G，使得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，
在中，，
故答案为：D．
【分析】连接AF，由直角三角形斜边中线的性质求出AF=DE=3，从而得知点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度，求出此时CG的长即可.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，设与交于点，
由旋转可知：，，，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得，再计算即可得到。
11．【答案】CD:CA=CE:CB（或CD:CE=CA:CB，或CD:DA=CE:BE，或DE∥AB，或∠CDE=∠A，或∠CED=∠B等）
【解析】【解答】解：使图中的两个三角形是以点为位似中心的位似图形，则可以补充的条件是：CD:CA=CE:CB（或CD:CE=CA:CB，或CD:DA=CE:BE，或DE∥AB，或∠CDE=∠A，或∠CED=∠B等）．
故答案为：CD:CA=CE:CB（或CD:CE=CA:CB，或CD:DA=CE:BE，或DE∥AB，或∠CDE=∠A，或∠CED=∠B等）
【分析】根据位似图形的变换求解即可。
12．【答案】3
【解析】【解答】解：如图，
∵S△ADE：S△DEC=4：2，
∴AE：EC=2：1，
∵S△ADE：S△DEC：S△BCD =4：2：3，
∴S△ACD：S△BCD=6：3，
∴AD：BD=2：1，
∵，
∴DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，
∵∠ACD=∠ADE，
∴∠ACD=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
同理可证：△ACD∽△ADE，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵AD：BD=2：1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵CD=，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据△ADE，△DEC，△BCD的面积之比为4：2：3，可得出AE：EC=2:1，AD:BD=2:1，则可证明DE//BC，利用平行线的性质与相似三角形的判定可得△ACD∽△ABC与△ACD∽△ADE，根据相似三角形判定推出，计算可得结论。
13．【答案】4
【解析】【解答】解：由相似的性质可知：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
∴
故答案为：4．
【分析】根据相似多边形的性质可知：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得。
14．【答案】50
【解析】【解答】解：∵矩形与矩形是位似图形，
∴矩形∽矩形，
∴，
∵S矩ABCD=，
∴．
故答案为：50．
【分析】先证明矩形∽矩形，再利用相似的性质可得，再结合S矩ABCD=，即可得到。
15．【答案】2
【解析】【解答】解：（x，y，z均不为0），
设，则，，
则．
故答案为：2．
【分析】先求出，，再代入求解即可。
16．【答案】（8，2）
【解析】【解答】解：∵线段AB端点B的坐标分别为B（16，4），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，
∴端点D的坐标为：（8，2）．
故答案是：（8，2）．
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，进而得出D点坐标。
17．【答案】6.4
【解析】【解答】解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，
故△EAB∽△DCB，
则，
∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
∴，
解得：DC＝6.4m，
故答案为：6.4．
【分析】先证明△EAB∽△DCB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可。
18．【答案】(，)
【解析】【解答】∵A（0，1），B（2，0），
∴OA=1，OB=2.
∵矩形AOBC与DOEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶，
∴OA∶OD=OB∶OE=1∶，
∴==，
∴OD=，OE=2，
∴F点的坐标为（2，）.
故答案为(，).
【分析】先求出OA=1，OB=2，再求出OD=，OE=2，最后求点F的坐标即可。
19．【答案】解：设＝k，
则，
解得．
所以
【解析】【分析】设＝k，求出，再代入计算即可。
20．【答案】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，
∴，
∴AC＝6．
【解析】【分析】证明△ADE∽△ACB，可得，代入相应数据即可求出AC.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠B=180°，∠DCF=∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE=180°，∠DFE=∠A，
∴∠DFC=∠B，
∴△DCF∽△CEB．
【解析】【分析】 根据题意证明∠DCF=∠BEC，∠DFC=∠B，可证 △DCF∽△CEB 。
22．【答案】解：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
，
是的中点，，
，
，
，
解得：．
【解析】【分析】先证明，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入计算即可。
23．【答案】证明：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵点H为中点，
∴AH=HD，
∵DF∥BE，
∴，
∴AE=EF，
∵DF∥BE，
∴，
∴．
【解析】【分析】 过点D作DF∥BE交AC于F，由线段的中点可得AH=HD，由DF∥BE可得，从而求出AE=EF，由DF∥BE可得，据此即可求解.
24．【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
25．【答案】解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
【解析】【分析】先证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可。