2021-2022学年湘教版八年级数学下册 2.5矩形 同步达标测试题（word版含解析）

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量其中三个角是否都为直角
C．测量对角线是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（　　）
A． B．2 C． D．2
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO
4．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（　　）
A．cm B．cm C．cm D．8cm
5．如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；
②BC＝2AB；
③S△AOB＝S△BOC；
④S△AOE＝S△COE，
其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则AE的长为（　　）
A． B． C． D．6
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO，若AE＝2，则OD＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
二．填空题（共4小题，满分20分）
9．如图，长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C运动，最终到达点C，点P运动的时间为x秒．若x＞4，那么x＝　 　秒时，△APE的面积等于5cm2．
10．如图，在矩形ABCD中，∠B的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝6，DF＝2FC，则BC＝　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线AC上一点，若点P、A、B组成一个等腰三角形时，△PAB的面积为 　 　．
12．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　 　．
三．解答题（共8小题，满分60分）
13．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC、DF．求证：四边形AEFD是矩形；
14．如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，已知A（a，0），C（0，b），其中a，b满足|a﹣4|+（b﹣6）2＝0，点P从点O出发沿OA以1cm/s的速度向点A移动，同时点Q从点B出发沿BA方向以1cm/s的速度向点A移动，设运动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）当t＝2时，判断△PCQ的形状，并说明理由．
15．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（I）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
16．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．
17．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，OA＝OB．
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形；
（2）如图2，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，若AD＝12，AB＝5，求PE+PF的值．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
19．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．
20．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD的垂直平分线分别交边AD、BC于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BOC＝120°，AB＝6，求FC的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形．
故选：B．
2．解：∵AB＝2，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，
∴BO＝CO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△BOC的面积为2，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，
2＝CO×EO+BO×EF，
∴2＝××EO+×EF，
∴（EO+EF）＝4，
∴EO+EF＝，
故选：A．
3．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴不能判定平行四边形ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
4．解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，
∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∵BD＝＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5×cm＝cm，
∴EF＝2FO＝cm．
故选：C．
5．解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴OE＝，即点B（，3），
∴AF＝OE＝，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣，
∴点C（﹣，4）．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴OA＝OD＝OC＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°，
∵OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，
而AC＞BC，
∴2AB＞BC，故②错误；
∵OA＝OC，
∴S△AOB＝S△BOC、S△AOE＝S△COE，故③、④正确；
故选：C．
7．解：如图，连接CE，
∵矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝6，OA＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即AE的长为．
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB，
∵AE＝2，
∴OE＝2，
∴OD＝OB＝2OE＝4；
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分20分）
9．解：∵x＞4，
∴点P在BC上时，
∵△APE的面积等于5cm2，
∴S长方形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP＝5，
∴3×4﹣（3+4﹣x）×2﹣×2×3﹣×4×（x﹣4）＝5，
∴x＝5；
∴x＝5秒时，△APE的面积等于5cm2．
故答案为：5．
10．解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝6，
∴直角三角形ABE中，BE＝＝6，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝6，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
设CG＝x，DE＝2x，则AD＝6+2x＝BC，
∵BG＝BC+CG，
∴6＝6+2x+x
解得x＝2﹣2，
∴BC＝6+2（2﹣2）＝4+2，
故答案为：4+2．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝5，
有三种情况：
①当AB＝BP＝3时，如图1，过B作BM⊥AC于M，
∵S△ABC＝，
∴＝，
解得：BM＝，
∵AB＝BP＝3，BM⊥AC，
∴AM＝PM＝＝，
∴AP＝AM+PM＝，
∴△PAB的面积S＝＝××＝；
②当AB＝AP＝3时，如图2，
∵BM＝，
∴△PAB的面积S＝
＝
＝；
③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP＝BP，BN＝AN＝＝，
∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AB，
∴PN∥BC，
∵AN＝BN，
∴AP＝CP，
∴PN＝BC＝＝2，
∴△PAB的面积S＝
＝2
＝3；
即△PAB的面积为或或3，
故答案为：或或3．
12．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故答案为：10．
三．解答题（共8小题，满分60分）
13．（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形；14．（1）解：∵|a﹣4|+（b﹣6）2＝0，
∵|a﹣4|≥0，（b﹣6）2≥0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
∴a＝4，b＝6；
故答案为：4；6；
（2）当t＝2时，△PCQ是等腰直角三角形，理由如下：
设运动时间为t秒（0≤t≤4），
∴OP＝t，AQ＝6﹣t，
当t＝2时，OP＝2，AQ＝6﹣2＝4，
∴AP＝OA﹣OP＝4﹣2＝2，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠COA＝∠OAB＝∠B＝90°，
在Rt△COA中，PC＝，
在Rt△APQ中，PQ＝，
在Rt△CBQ中，CQ＝，
∴CQ＝PQ，PC2＝PQ2+CQ2，
∴△CPQ是等腰直角三角形．
15．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：
由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形．
16．证明：∵PQ∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF，
∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∴∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF，
∴DE＝DC，DF＝DC，
∴DE＝DF，
∵点D是边AC的中点，
∴AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCA+∠ACG＝180°，
∴∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝×180°＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
17．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）如图，连接OP，
∵AD＝12，AB＝5，
∴BD＝＝＝13，
∴BO＝OD＝AO＝CO＝，
∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15，
∴S△AOP+S△POD＝15，
∴××FP+××EP＝15，
∴PE+PF＝．
18．证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
19．（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：
20．（1）证明：∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，FB＝FD，BO＝DO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OBF＝∠ODE，
∵∠DOE＝∠BOF，
∴△EOD≌△FOB（AAS），
∴DE＝BF，
∴EB＝ED＝FB＝FD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，CD＝AB＝6，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵四边形EBFD为菱形，
∴FB＝FD，
∴∠FBD＝∠FDB＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∴∠FDC＝30°，
设CF＝x，则FD＝2x，
根据勾股定理得：（2x）2﹣x2＝62，
解得：x＝2，
∴FC的长为2．