2021-2022学年沪科版九年级数学下册24.5三角形的内切圆 课后提升（word版 含解析）

三角形的内切圆
一、单选题
1．根据尺规作图的痕迹，可以判定点O为的内心的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，⊙O内切于△ABC，若∠AOC＝110°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝4，点O是△ABC的内心，则△ABC的内切圆半径为（　 　）
A．2 B．4﹣2 C．2﹣ D．2﹣2
4．如图，中，，，点O是的内心．则等于（ ）
A．124° B．118° C．112° D．62°
5．如图⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，∠ACB＝90°，则∠EDF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．45° D．60°
6．如图，⊙内切于，切点分别为，，．已知，，连接，，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．
甲、乙、丙三人有如下判断：
甲：；
乙：四边形的面积是定值；
丙：当时，的周长取得最小值．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有丙错误 C．乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都正确
8．如图，点为的内心，，，，则的面积是（ ）
A． B． C．2 D．4
9．如图，在中，,于D，⊙O为的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接，，．下列说法中错误的一项是（ ）
A．线段绕点顺时针旋转一定能与线段重合
B．线段绕点顺时针旋转一定能与线段重合
C．绕点顺时针旋转一定能与重合
D．线段绕点顺时针旋转一定能与线段重合
11．如图，BC为⊙O直径，弦AC＝2，弦AB＝4，D为⊙O上一点，I为AD上一点，且DC＝DB＝DI，AI长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，点O是边长为2的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE＝（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
13．边长为2的正三角形ABC的内切圆面积为 _____．
14．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为_______．
15．如图，在中，，，，是内切圆，则的半径为______．
16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AD＝5，BE＝12，则△ABC的周长为_____．
17．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若等边△ABC的边长为6，则阴影部分的面积是_________________．
三、解答题
18．如图，中，，，，它的内切圆分别和，，切于点，，，求，和的长．
19．已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F．
（1）若AB=6，AC=4，BC=8 ，求CE之长；
（2）若∠A=70°，求∠BOC的度数．
20．如图，是的内切圆，切点分别为D、E、F，，．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
21．如图，AB是⊙O的直径，点M是△ABC的内心，连接BM并延长交AC于点F交⊙O于点E，连接OE与AC相交于点D．
(1)求证：OD=BC
(2)求证：EM=EA
22．如图，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交的外接圆点D．过D作直线．
(1)求证：DM是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的半径．
23．我国著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则①．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则②
（1）这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，12，13为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记，S为三角形面积，则S＝pr．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
解：由于三角形的内心是三角形角平分线的交点，由基本作图知选项C中尺规作图作的是 的平分线，所以点O为的内心，
故选：C．
2．A
解：∵⊙O内切于△ABC，∠AOC＝110°，
∴，
故选A
3．D
解：如图，
设△ABC的内切圆☉O的半径为r，
在△ABC中，
AC＝BC＝2，AB＝4，
∵AC2＋BC2==42= AB2
∴△ABC是等腰直角三角形
∴S△ABC＝AC BC＝（AC+BC+AB） r．
∴r=
故答案选：D．
4．B
解：∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×74°=37°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．
故选B．
5．C
解：连接OE、OF，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F分别为切点，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形OFCE是矩形，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EDF＝∠EOF＝45°，
故选：C．
6．B
解：∵，，
∴，
∵⊙内切于，切点分别为，，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．B
解：（1）∵点为的内心，
∴当于，于时，．
当，不垂直于，时，
如图1，过点作于，于．
则．
∵，
∴．∵，
∴．
∵点为的内心，，，
∴．
∴≌．
∴．故甲的判断正确．
（2）如图1，连接．
由（1）可知，四边形的面积为．
∵点的位置固定，
∴四边形的面积是定值．故乙的判断正确．
（3）如图2，过点作于点．
由（1）可得，．
∴的周长．
∴当最小，即当时，的周长最小，此时不垂直于，故丙的判断不正确．
综上所述，答案选B．
8．B
解：过点C作CH⊥BO于点H．
∵点O为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠BOC＝180°-∠OBC-∠OCB=90°∠A＝90°120°，
则∠COH＝60°，∠OCH＝30°
∵CO＝4，
∴OH=2
∴CH＝2，BO＝2，
∴△OBC的面积为2，
故选：B．
9．B
解：如图，令分别与的三边切于，，，连接
∴
∴
=
=
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故选：B．
10．D
解：∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，故C正确，不符合题意；
∴＝，
∴BD＝CD，故A正确，不符合题意；
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠DBC，
∵∠IBD＝∠IBC+∠DBC，∠BID＝∠ABI+∠BAD，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴BD＝DI，故B正确，不符合题意；
故选：D．
11．D
解：如图，连接IC，作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，IG⊥BC于G．
∵DB＝DC，
∴，∠DBC＝∠DCB，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DI＝DC，
∴∠DIC＝∠DCI，
∵∠DIC＝∠DAC+∠ACI，∠DCI＝∠DCB+∠ICB，∠DBC＝∠DAC，
∴∠ICA＝∠ICB，
∴点I为△ABC内心，
∴IE＝IF＝IG，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝，
∵S△ABC＝ AB AC＝ IE （AB+AC+BC），
∴IE＝3﹣，
∵∠IAE＝∠AIE＝45°，
∴AI＝＝﹣，
故选：D．
12．D
解：令与BC的交点为F，与的交点为M，过点F作FN于点N，如图，
将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，
点O是边长为2的等边△ABC的内心，
△FOB为等腰三角形，
△△
在△和△中
△△
在△中，
故选：D．
13．##
解：如图，根据题意作图，△ABC是边长为2的等边三角形，O是△ABC的内切圆，与三角形各边分别交于D，E，F
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，DO=EO=FO
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
∴∠OBC=∠OCB=30°
∴△OBC是等腰三角形
∵OE⊥BC
∴BE=CE=1
∵在Rt△OBE中，OB=2OE，BO2=OE2+BE2
∴OE=
∴O的半径r=
∴正三角形ABC的内切圆面积为=
故答案为：．
14．1
解：如图所示：△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵32+42＝52，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F，
∵CD＝CE，BE＝BF，AF＝AD，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，∠C=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
∵CD=CE，
∴矩形ODCE是正方形，即CD＝CE＝r，
∴AF=AD＝AC﹣CD= 3﹣r，
BF=BE＝BC﹣CE=4﹣r，
∴（3﹣r）+（4﹣r）=5
∴r＝1．
故答案为：1．
15．1
解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC==4，
如图，分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵⊙O是△ABC内切圆，D、E、F为切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD=OE=OF，
∴S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOB=BC DO+AC OE+AB FO=（BC+AC+AB） OD，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴．
故答案为：1．
16．40
解：连接EO，DO，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥BC，OD⊥AC，BF＝BE＝12，AD＝AF＝5，EC＝CD，
又∵∠C＝90°，
∴四边形ECDO是矩形，
又∵EO＝DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO＝x，
则EC＝CD＝x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2＝AB2
故（x+12）2+（x+5）2＝172，
解得：x＝3(负值已舍)，
∴△ABC的周长＝8+15+17＝40．
故答案为：40．
17．9﹣3π
解：连接OE、OB、OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝6，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥BC，BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBE＝∠OCE＝30°，
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝3，
在Rt△OBE中，OE＝BE＝，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣S⊙O
＝3S△OBC﹣S⊙O
＝3××6×﹣π×（）2
＝9﹣3π．
故答案为9﹣3π．
18．AE=4，BD=9，CF=5
解：设AE=x，
∵△ABC的内切圆分别和BC，AB，AC切于点D，E，F，
∴AF=AE=x，BE=BD，CD=CF，
而BE=BA-AE=13-x，CF=CA-AF=9-x，
∴BD=13-x，CD=9-x，
而BD+CD=BC，
∴13-x+9-x=14，解得x=4，
∴AE=4，BD=9，CF=5．
19．（1）；（2）
解：（1）设，
根据切线长定理可得，、、
则，，
由得，，解得
即
（2）由三角形内切圆的性质可得：平分，平分
∴，
∴
∴
故答案为
20．（1）115°；（2）65°
解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
∴BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=∠ABC=30°，∠OCB=∠ACB=35°，
∴∠BOC=180°-30°-35°=115°；
（2）如图所示；连接OE，OF．
∵∠ABC=60°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-60°-70°=50°．
∵AB是圆O的切线，
∴∠OFA=90°．
同理∠OEA=90°．
∴∠BAC+∠EOF=180°．
∴∠EOF=130°，
∴∠EDF=∠EOF=65°．
21．(1)见解析 (2)见解析
(1)
解：证明：点是的内心，
，
，
，
又，
；
(2)
证明：连接，
是的内心，
，，
，，，
．
．
22．(1)见解析 (2)见解析 (3)⊙O的半径为5．
(1)
证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD=∠CAD，
∴，
∴OD⊥BC，BH=CH，
∵DM∥BC，
∴OD⊥DM，
∴DM是⊙O的切线；
(2)
证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，
∵，
∴∠DBC=∠BAD，
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE，
即∠BED=∠DBE，
∴BD=DE；
(3)
解：设⊙O的半径为r，
连接OD，OB，如图，
由（1）得OD⊥BC，BH=CH，
∵BC=8，
∴BH=CH=4，
∵DE=2，BD=DE，
∴BD=2，
在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2，
∴（2）2=42+HD2，解得：HD=2，
在Rt△BHO中，
r2=BH2+（r-2）2，解得：r=5．
∴⊙O的半径为5．
23．（1）见解析；（2）见解析
解：（1）由①得：S30，
由②得：p15，
S30；
（2）连接OA、OB、OC，如图所示：
∴S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
rcrbra
＝（）r
＝pr．
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