2021-2022学年鲁教版（五四制）七年级数学下册8.6三角形的内角和定理 优生辅导训练（word版含解析）

2021-2022学年鲁教版七年级数学下册《8.6三角形的内角和定理》优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ACE中，点D在AC边上，点B在CE延长线上，连接BD，若∠A＝47°，∠B＝55°，∠C＝43°，则∠DFE的度数是（　　）
A．125° B．45° C．135° D．145°
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN．若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（　　）
A．25° B．30° C．50° D．65°
3．如图，射线BD，AE分别是△ABC的外角∠ABF，∠CAG的角平分线，射线BD与直线AC交于点D，射线AE与直线BC交于点E，若∠BAC＝∠ABC+102°，∠D＝∠E+27°，则∠ACB的度数为（　　）
A．39° B．40° C．41° D．42°
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF中有两个内角相等，则∠A的度数为（　　）
A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°
5．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．如图，已知AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A，B在运动的过程中，∠AEB的度数为（　　）
A．120° B．135° C．100° D．无法确定
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（　　）
A．20° B．30° C．45° D．50°
7．如图所示，在△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠ABF＝∠EFB；③∠E＝∠ABE；④AC∥BE，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠E＝90°，则∠BDC的度数为（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
9．如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（　　）
A．45° B．50° C．55° D．80°
10．如图，在直角△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AD是∠CAB的平分线，交边BC于点D，过点C作△ACD中AD边上的高线CE，则∠ECD的度数为（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
11．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE相交于点G，若∠ABC＝3∠C，且∠G＝20°，则∠DFB的度数为（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
12．如图，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A为（　　）
A．24° B．28° C．32° D．36°
13．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（　　）
A．90° B．180° C．360° D．无法确定
二．填空题
14．如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝　 　．
15．如图，∠ABD的平分线与∠ACD的平分线相交于P．若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P＝　 　．
16．如图，D，E，F分别是△ABC三边延长线上的点，∠D+∠E+∠F＝107°，则∠1+∠2+∠3＝　 　°．
17．△ABC中，若∠A+∠C＝2∠B，则∠B＝　 　．
18．在△ABC中，∠B＝35°，AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线，∠DCA＝75°，则∠DAE的度数为 　 　．
19．一副直角三角板如图放置，∠F＝∠ACB＝90°，点C在FD的延长线上，∠E＝45°，∠A＝60°，AB∥CF，则∠DBC的度数为 　 　度．
20．如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连结GF，ED．则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为 　 　．
21．如图，在△ABC中，∠A＝64°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2…依次类推，则∠A4＝　 　度．
三．解答题
22．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B＝54°．
（1）求∠EAC的度数；
（2）若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．
23．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于点E，若∠B＝76°，∠P＝27°，求∠C的大小．
24．如图，点O是△ABC内一点，连接BO，CO，CO恰好平分∠ACB，延长BO交AC于点E，已知∠A＝50°，∠BCO＝35°，∠BEC＝65°，求∠ABO和∠OBC的度数．
25．如图1，△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点，沿直线DE折叠三角形纸片．
（1）如果折成图1的形状，求∠BDA′与∠A的关系；
（2）如果折成图2的形状，猜想∠BDA′、∠CEA'和∠A的关系，并说明理由；
（3）如果折成图3的形状，直接写出∠BDA'、∠CEA′和∠A的关系．
26．如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．
（1）求∠AFB的度数；
（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．
27．∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　°；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．
28．阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数．
如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　；
（2）如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．
（3）如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠A+∠C+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣47°﹣43°＝90°，
∴∠FEB＝90°，
∴∠EFB＝90°﹣∠B＝35°，
∴∠DFE＝180°﹣35°＝145°，
故选：D．
2．解：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN＝BM，
则∠MNB＝∠MBN，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC＝50°，
∴∠MNB＝25°．
如图2中，当BM＝BN时，∠BNM＝∠BMN＝50°，
当MB＝MN时，∠BNM＝（180°﹣50°）＝65°，
当NB＝MN时，∠BNM＝80°，
综上所述，选项B符合题意，
故选：B．
3．解：设∠ABC＝x，∠E＝y，则∠BAC＝x+102°，∠D＝y+27°．
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝78°﹣2x°．
∵AE平分∠CAG，
∴∠GAE＝＝＝39°﹣．
同理可得：∠DBF＝90°﹣．
∵∠GAE＝∠ABC+∠E，
∴39°﹣＝x+y．
∵∠DBF＝∠D+∠ACB，
∴90°﹣＝y+27°+78°﹣2x．
∴x＝18°．
∴∠ACB＝78°﹣2x＝78°﹣2×18°＝42°．
故选：D．
4．解：①当AE＝AF时，则∠AFE＝∠AEF＝（180°﹣∠A），
∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，
∴∠AFD＝120°，
∴（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝40°．
②当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，
同法可得180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝50°．
③当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意．
综上所述，∠A＝40°或50°，
故选：B．
5．解：由题意得：MN⊥PQ．
∴∠AOB＝90°．
∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣∠AOB＝180°﹣90°＝90°．
又∵AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠BAE＝，∠ABE＝．
∴∠BAE+∠ABE＝＝＝×90°＝45°．
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣45°＝135°．
故选：B．
6．解：∵∠AOB＝125°，
∴∠OAB+∠OBA＝55°，
∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝2×55°＝110°，
∴∠C＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝20°，
即∠CAD的度数是20°．
故选：A．
7．解：∵AH⊥BC，EF∥BC，
∴①AH⊥EF正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠CBF，
∴②∠ABF＝∠EFB正确；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，
∴③∠E＝∠ABE正确．
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BE∥AC不一定成立，故④错误；
故选：B．
8．解：在△BEC中，
∵∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，
∴∠DBC＝∠EBC，∠DCB＝∠ECB，
∴∠DBC+∠DCB＝×90°＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝135°，
故选：D．
9．解：连接AC并延长交EF于点G．
∵AB∥CF，
∴∠BAC＝∠FCG，
∵AD∥CE，
∴∠DAC＝∠ECG，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCG+∠ECG＝∠ECF，
在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝55°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣55°＝45°，
∴∠BAD＝∠ECF＝45°．
故选：A．
10．解：∵∠CAB＝90°，AD是∠CAB的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝45°，
∵CE⊥AD，
∴∠ECA＝∠CEA﹣∠CAE＝45°，
∵∠BCA＝∠CAB﹣∠B＝20°，
∴∠ECD＝∠ACE﹣∠BCA＝25°，
故选：C．
11．解：如图：
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，
∴∠CAE＝∠BAE，∠1＝∠2，
设∠CAE＝∠BAE＝x，∠C＝y，∠ABC＝3y，
由外角的性质得：
∠1＝∠BAE+∠G＝x+20，∠2＝∠ABD＝（2x+y）＝x+y，
∴x+20＝x+y，解得y＝40°，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠DFB＝60°．
故选：C．
12．解：如图，设AB与DA'交于点F，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A'+∠2，由折叠可得，∠A＝∠A'，
∴∠1＝∠A+∠A'+∠2＝2∠A+∠2，
又∵∠1＝80°，∠2＝24°，
∴80°＝2∠A+24°，
∴∠A＝28°．
故选：B．
13．解：延长BE交AC于F，
∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，
∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故选：B．
二．填空题
14．解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，
∴∠B＝39°，
设∠C＝∠D＝x°，
则39+x+x＝117，
解得：x＝39，
∴∠D＝39°，
∴∠BED＝180°﹣39°﹣39°＝102°．
故答案为：102°．
15．解：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，
∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，
∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，
即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．
故答案为：20°．
16．解：∵∠D+∠3＝∠CAB，∠E+∠1＝∠ABC，∠F+∠2＝∠ACB，
∴∠D+∠E+∠F+∠1+∠2+∠3＝∠CAB+∠ABC+∠ACB＝180°，
∵∠D+∠E+∠F＝107°，
∴∠1+∠2+∠3＝73°，
故答案为：73．
17．解：在△ABC中，∠A+∠C＝2∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝60°．
故答案为：60°．
18．解：当∠C为锐角时，如图，
∵∠B＝35°，∠DCA＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣35°﹣75°＝70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝35°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝55°﹣35°＝20°；
当∠C为钝角时，如图，
∵∠DCA＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣75°＝105°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣105°﹣35°＝40°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝20°，
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝55°﹣20°＝35°．
故答案为20°或35°．
19．解：∵，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，
∴∠EDF＝45°，∠ABC＝30°．
∵AB∥CF，
∴∠EDF＝∠ABD＝45°．
∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC
＝45°﹣30°
＝15°．
故答案为：15．
20．解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∵∠GCF＝∠ACB，∠DBE＝∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE＝90°，
∵∠G+∠F+∠GCF＝∠D+∠B+∠DBE＝180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE＝360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED＝270°，
故答案为：270°．
21．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理可得∠A2＝∠A1＝×∠A＝∠A，
由此可得一下规律：∠An＝∠A，
当∠A＝64°时，∠A4＝∠A＝4°，
故答案为：4．
三．解答题
22．解：（1）∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∴∠EAC＝∠B．
∵∠B＝54°，
∴∠EAC＝54°．
（2）设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠DAB＝2x，
∵∠B＝54°，
∴∠EDA＝∠EAD＝2x+54°．
∵∠EDA+∠EAD+∠E＝180°，
∴2x+54°+2x+54°+5x＝180°．
解得x＝8°．
∴∠E＝5x＝40°．
23．解：在△PDE中，∠P＝27°，PE⊥BC，
∴∠PED＝90°，
∴∠ADB＝∠PDE＝180°﹣∠PED﹣∠P＝63°．
在△ABD中，∠ADB＝63°，∠B＝76°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝41°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝41°．
在△ACD中，
∵∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣63°＝117°，
∴∠C＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝180°﹣117°﹣41°＝22°．
答：∠C的大小为22°．
24．解：∵∠A＝50°，∠BEC＝65°，
∴∠ABO＝∠BEC﹣∠A＝65°﹣50°＝15°；
∵CO平分∠ACB，∠BCO＝35°；
∴∠BCA＝2∠BCO＝70°；
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠BCA＝180°﹣50°﹣70°＝60°；
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝60°﹣15°＝45°．
25．解：（1）根据折叠的性质可知∠DA'E＝∠A，
∵∠DA'E+∠A＝∠BDA'，
∴∠BDA'＝2∠A；
（2）∠BDA'+∠CEA'＝2∠A，理由如下：
∵∠BDA'+∠ADA'＝180°，∠CEA'+∠A'EA＝180°，
∴∠BDA'+∠CEA'＝360°﹣∠ADA'﹣∠A'EA，
∴∠BDA'+∠CEA'＝∠A+∠DA'E，
∵△A'DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA'E，
∴∠BDA'+∠CEA'＝2∠A；
（3）∠BDA'﹣∠CEA'＝2∠A，理由如下：
设DA'交AC于点F，
∵∠BDA'＝∠A+∠DFA，∠DFA＝∠A'+∠CEA'，
∴∠BDA'＝∠A+∠A'+∠CEA'，
∴∠BDA'﹣∠CEA'＝∠A+∠A'，
∵△A'DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠DA'E，
∴∠BDA'﹣∠CEA'＝2∠A．
26．解：（1）∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∠C＝42°，∠CAE＝18°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠CBD＝27°，
∴∠BFE＝180°﹣27°﹣60°＝93°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BFE＝87°；
（2）∵∠BAF＝2∠ABF，∠BFE＝93°，
∴3∠ABF＝93°，
∴∠ABF＝31°，
∴∠BAF＝62°．
27．解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠ABN＝150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD＝∠CBN＝150°＝75°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．
28．解：（1）①在图1中：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣60°）
＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
②在图2中：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A
∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC
＝∠ABC+∠A﹣∠ABC
＝∠A
＝30°．
③在图3中：
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠BCD
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠EBC+∠BCD）
＝（∠A+∠ACB+∠BCD）
＝（∠A+180°）
＝（60°+180°）
＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°．
故答案为：120°，30°，60°．
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A．
（3）设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
解得：α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．