2021—2022学年人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理达标测试题 （word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021—2022学年人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理达标测试题 （word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 210.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-26 10:03:37 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝：：；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
3．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的直木棒最长为（ ）
A．12m B．13m C．15m D．24m
4．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）
A．20km B．14km C．11km D．10km
5．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
6．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
7．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
8．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．若8，a，17是一组勾股数，则a＝ ．
10．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 步路．（假设2步为1米）
11．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行．
12．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 °．
13．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
14．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 cm2．
15．2021年在甘肃省白银市景泰县黄河石林景区举行了黄河石林山地马拉松百公里越野赛．如图，是矗立在水平地面上的马拉松赛道路牌．经测量得到以下数据：AC＝4m，BE＝8m，∠DAC＝45°，∠EBC＝30°，∠DCA＝90°，则DE的高为 m．
16．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 米．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AC上一点，且CD＝6cm，BD＝8cm．
（1）判断△BCD的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
18．如图：四边形ABCD中，AB＝BC＝，DA＝1，CD＝，且AB⊥CB于B．试求：
（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
19．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求AB边上的高．
20．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧的墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧的墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点B到地的垂直距离BC＝米，求两堵墙之间的距离CE．
21．如图所示，AB＝DE＝25，AC＝24，∠C＝90°．
（1）这个梯子底端B离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．
22．如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝20km，
（1）求何宝珍故里B与月岩景区C的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
23．已知，如图，AD∥BE，C为BE上一点，CD与AE相交于点F，连接AC．∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）求证：AB∥CD；
（2）已知AE＝12cm，AB＝5cm，BE＝13cm，求AC的长度．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故①能判断是直角三角形，
∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故②能判断是直角三角形，
∵a：b：c＝：：，
∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，
∴a2≠b2+c2，
∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断是直角三角形，
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝×180°＝（）°＞90°，故④不能判断是直角三角形
故选：C．
2．解：延长CB交网格于E，连接AE，
由勾股定理得：AE＝AB＝＝，BC＝BE＝＝，
∴AE2+AB2＝BE2，
∴△EAB是等腰直角三角形（∠EAB＝90°），
∴∠EBA＝∠AEB＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
3．解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，
∴CB＝5m，
∵AC＝12m，
∴AB＝＝13（m），
∴空木箱能放的最大长度为13m，
故选：B．
4．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．
观察图形可知AC＝AF﹣MF+MC＝8﹣3+1＝6（km），BC＝2+5＝7（km），
在Rt△ACB中，AB＝＝＝10（km）．
答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是10km，
故选：D．
5．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
6．解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选：D．
7．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．
8．解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：①a为最长边，a＝，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
10．解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，
∴AB＝＝10（m），
则（8+6﹣10）×2＝8，
∴他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
11．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，
∵122+162＝202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB＝90°，
由题意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，
即乙船沿北偏东50°方向航行，
故答案为：北偏东50°．
12．解：连接AC，
由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，
BC2＝22+12＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45．
13．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
14．解：由图可知正方形的边长为＝8cm，正方形的面积为8×8＝64cm2．
15．解：∵∠DCA＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADC＝∠CAD＝45°，
∴AC＝CD＝4m，
在Rt△BCE中，∵∠EBC＝30°，BE＝8m，
∴CE＝＝×8＝4（m），
∴DE＝CE﹣CD＝（4﹣4）m，
故答案为：（4﹣4）．
16．解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，
由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．解：（1）∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，
∴BC2＝BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣6）2+82，
∴x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝（cm）．
18．解：（1）如图，连接AC．
∵AB＝BC＝，∠B＝90°，
∴AC＝＝2，∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AD＝1，CD＝，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+90°＝135°．
（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝ AB BC+ AD AC＝××+×1×2＝2．
19．解：（1）△ABC为直角三角形，
理由：由图可知，
，BC＝，AB＝＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设AB边上的高为h，
由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，
∴＝，
即＝h，
解得，h＝2，
即AB边上的高为2．
20．解：在直角△ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，
根据勾股定理计算AB2﹣AC2＝，得：AC＝5，AB＝10．
即AD＝10，根据AD2＝AE2+DE2，AE＝DE，计算得：AE＝DE＝，
∴CE＝CA+AE＝5+．
答：两墙之间的距离CE＝5+．
21．解：（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，AD＝4米，
在直角△ABC中，∠C＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴米，
∴这个梯子底端离墙有7米；
（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），
在直角△CDE中，∠C＝90°，
∴BD2+CE2＝DE2，
∴（米），
∴BE＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．
22．解：（1）根据题意得：∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝20（km）．
答：何宝珍故里B到月岩景区C的距离为20km；
（2）过点C作CD⊥l，垂足为D，则CD的长是这条最短公路的长．
∵CD⊥l，
∴∠CDB＝90°，
∵∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BCD＝30°，BC＝20km，
∴，
（km）．
答：这条最短公路的长为km．
23．（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠DAC＝∠3，
即∠2+∠EAC＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠EAC＝∠4，
即∠BAE＝∠4，
∴AB∥CD；
（2）解：在△ABE中，AE＝12cm，AB＝5cm，BE＝13cm，
∴AE2+AB2＝BE2，
∴△ABE为直角三角形，∠BAE＝90°，
由（1）得：∠4＝∠BAE＝90°，
∴∠3＝∠4＝90°，
∴AC⊥BE，
∵S△ABE＝AE AB＝BE AC，
∴AC＝＝＝（cm）．
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝：：；④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．165°
3．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的直木棒最长为（ ）
A．12m B．13m C．15m D．24m
4．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）
A．20km B．14km C．11km D．10km
5．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
6．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
7．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
8．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．若8，a，17是一组勾股数，则a＝ ．
10．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 步路．（假设2步为1米）
11．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行．
12．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 °．
13．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
14．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为 cm2．
15．2021年在甘肃省白银市景泰县黄河石林景区举行了黄河石林山地马拉松百公里越野赛．如图，是矗立在水平地面上的马拉松赛道路牌．经测量得到以下数据：AC＝4m，BE＝8m，∠DAC＝45°，∠EBC＝30°，∠DCA＝90°，则DE的高为 m．
16．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 米．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AC上一点，且CD＝6cm，BD＝8cm．
（1）判断△BCD的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
18．如图：四边形ABCD中，AB＝BC＝，DA＝1，CD＝，且AB⊥CB于B．试求：
（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
19．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C为网格的交点．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求AB边上的高．
20．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧的墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧的墙上时，梯子的顶端在D点，已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，点B到地的垂直距离BC＝米，求两堵墙之间的距离CE．
21．如图所示，AB＝DE＝25，AC＝24，∠C＝90°．
（1）这个梯子底端B离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．
22．如图，一条笔直的公路l经过树湘纪念馆A和何宝珍故里B两个红色文化景区，我县准备进一步开发月岩景区C，经测量景区C位于A的北偏东60°方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝20km，
（1）求何宝珍故里B与月岩景区C的距离；
（2）为了方便游客到月岩景区C游玩，景区管委会准备由景区C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
23．已知，如图，AD∥BE，C为BE上一点，CD与AE相交于点F，连接AC．∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）求证：AB∥CD；
（2）已知AE＝12cm，AB＝5cm，BE＝13cm，求AC的长度．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故①能判断是直角三角形，
∵∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故②能判断是直角三角形，
∵a：b：c＝：：，
∴可以假设，a＝20k，b＝15k，c＝12k，
∴a2≠b2+c2，
∴△ABC不是直角三角形，故③不能判断是直角三角形，
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝×180°＝（）°＞90°，故④不能判断是直角三角形
故选：C．
2．解：延长CB交网格于E，连接AE，
由勾股定理得：AE＝AB＝＝，BC＝BE＝＝，
∴AE2+AB2＝BE2，
∴△EAB是等腰直角三角形（∠EAB＝90°），
∴∠EBA＝∠AEB＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
3．解：∵侧面对角线BC2＝32+42＝52，
∴CB＝5m，
∵AC＝12m，
∴AB＝＝13（m），
∴空木箱能放的最大长度为13m，
故选：B．
4．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．
观察图形可知AC＝AF﹣MF+MC＝8﹣3+1＝6（km），BC＝2+5＝7（km），
在Rt△ACB中，AB＝＝＝10（km）．
答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是10km，
故选：D．
5．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
所以x+2＝17．
即：这个芦苇的高度是17尺．
故选：C．
6．解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选：D．
7．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．
8．解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：①a为最长边，a＝，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
10．解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，
∴AB＝＝10（m），
则（8+6﹣10）×2＝8，
∴他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
11．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，
∵122+162＝202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB＝90°，
由题意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，
即乙船沿北偏东50°方向航行，
故答案为：北偏东50°．
12．解：连接AC，
由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，
BC2＝22+12＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45．
13．解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
14．解：由图可知正方形的边长为＝8cm，正方形的面积为8×8＝64cm2．
15．解：∵∠DCA＝90°，∠DAC＝45°，
∴∠ADC＝∠CAD＝45°，
∴AC＝CD＝4m，
在Rt△BCE中，∵∠EBC＝30°，BE＝8m，
∴CE＝＝×8＝4（m），
∴DE＝CE﹣CD＝（4﹣4）m，
故答案为：（4﹣4）．
16．解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，
由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．解：（1）∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，
∴BC2＝BD2+CD2．
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝xcm，
∵等腰△ABC，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣6）2+82，
∴x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝（cm）．
18．解：（1）如图，连接AC．
∵AB＝BC＝，∠B＝90°，
∴AC＝＝2，∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AD＝1，CD＝，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝45°+90°＝135°．
（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝ AB BC+ AD AC＝××+×1×2＝2．
19．解：（1）△ABC为直角三角形，
理由：由图可知，
，BC＝，AB＝＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）设AB边上的高为h，
由（1）知，，BC＝，AB＝5，△ABC是直角三角形，
∴＝，
即＝h，
解得，h＝2，
即AB边上的高为2．
20．解：在直角△ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，
根据勾股定理计算AB2﹣AC2＝，得：AC＝5，AB＝10．
即AD＝10，根据AD2＝AE2+DE2，AE＝DE，计算得：AE＝DE＝，
∴CE＝CA+AE＝5+．
答：两墙之间的距离CE＝5+．
21．解：（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，AD＝4米，
在直角△ABC中，∠C＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴米，
∴这个梯子底端离墙有7米；
（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），
在直角△CDE中，∠C＝90°，
∴BD2+CE2＝DE2，
∴（米），
∴BE＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．
22．解：（1）根据题意得：∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝20（km）．
答：何宝珍故里B到月岩景区C的距离为20km；
（2）过点C作CD⊥l，垂足为D，则CD的长是这条最短公路的长．
∵CD⊥l，
∴∠CDB＝90°，
∵∠CBD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠CDB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BCD＝30°，BC＝20km，
∴，
（km）．
答：这条最短公路的长为km．
23．（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠DAC＝∠3，
即∠2+∠EAC＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠EAC＝∠4，
即∠BAE＝∠4，
∴AB∥CD；
（2）解：在△ABE中，AE＝12cm，AB＝5cm，BE＝13cm，
∴AE2+AB2＝BE2，
∴△ABE为直角三角形，∠BAE＝90°，
由（1）得：∠4＝∠BAE＝90°，
∴∠3＝∠4＝90°，
∴AC⊥BE，
∵S△ABE＝AE AB＝BE AC，
∴AC＝＝＝（cm）．