2021—2022学年苏科版数学八年级下册9.3平行四边形 基础解答题专题训练（word版 含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学下册《9-3平行四边形》基础解答题专题训练（附答案）
1．如图，已知 ABCD，E为BC边上的垂直平分线，BC＝FC＝2AB，且∠ABD＝90°．
（1）求证：△ABD≌△CEF；
（2）连接AF，请判断四边形ABDF的形状，并说明理由．
2．如图，在△NMB中，BM＝8，点A，C，D分别在边MB，BN，MN上，DA∥NB，DC∥MB，∠NDC＝∠MDA．求四边形ABCD的周长．
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．
求证：AE∥CF．
4．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．AD与CB有什么关系？证明你的结论．
5．已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE＝OF．求证：四边形AECF为平行四边形．
6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，求BD的长．
7．如图，AB，CD相交于点E且互相平分，F是BD延长线上一点，若∠FAC＝2∠BAC，求证：AC+DF＝AF．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
10．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形AECF是平行四边形．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．
12．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．
13．已知： ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
14．如图，E、F是 ABCD对角线AC上的两点，AF＝CE．求证：BE＝DF．
15．如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．求证：四边形AECF是平行四边形．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点E，若BC＝4，BD＝10，AC＝6．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）求CD的长．
17．如图，F、C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF＝DC，连结AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形．
18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于点E，交BC于点F，求证：AE＝CF．
19．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
20．如图，在 ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且∠ADB＝∠F，EF与CD交于点G．
（1）求证：四边形BDFE是平行四边形；
（2）若AD＝10，BE＝4，FG＝5，求EG的长．
21．已知：如图，点E，F在BD上，且AE＝CF，BF＝DE，∠AEB＝∠CFD．求证：AC与BD互相平分．
22．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，AB∥CD．求证：AC与BD互相平分．
23．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）若AD＝AF，判断四边形ABFC是什么特殊四边形，并说明理由．
24．如图，在平行四边形ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．求证：BD、EF互相平分．
25．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M，CF平分∠BCD交BD于点F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABC＝70°，求∠AMB的度数．
26．如图，BD是 ABCD的对角线，∠BAD的平分线交BD于点E，∠BCD的平分线交BD于点F．求证：AE∥CF．
27．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．
28．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在CA和AC的延长线上，且AE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
29．如图，在 ABCD中，E是CD边上的中点，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE．
（2）若DF＝3，DE＝2，求 ABCD的周长．
30．如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE、DF．求证：BE＝DF．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AB＝CD，
∵E为BC边上的垂直平分线，
∴BC＝2EC＝2BE，∠FEC＝90°，
∵BC＝FC＝2AB，
∴EC＝AB＝CD，BC＝BF＝FC，
∴△BCF是等边三角形，
∴AD＝FC，
∴∠ABD＝∠FEC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CEF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CEF（HL）；
（2）解：四边形ABDF是矩形，理由如下：
∵△BCF是等边三角形，
∴BC＝FC＝2AB＝2CD，
∴FD＝CD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，
∴四边形ABDF是矩形．
2．解：∵DA∥NB，DC∥MB，
∴∠NDC＝∠M，四边形ABCD为平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，
∵∠NDC＝∠MDA．
∴AD＝AM，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝2AM+2AB＝2BM＝2×8＝16．
3．证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
4．解：AD＝BC且AD∥BC．
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SAS）．
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD．
∴AD∥BC．
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ODF＝∠OBE，
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF＝BE，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF为平行四边形．
6．解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，OA＝OC，BC＝AD＝5，
∵AB⊥AC，AB＝3，
∴AC＝＝4，
∴OA＝2，
∴BO＝＝，
∴BD＝2BO＝2．
故BD的长为2．
7．证明：连接AD、BC，
∵AB，CD相交于点E且互相平分，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴AC＝BC，AC∥BC，
∴∠BAC＝∠ABF，
∵∠FAC＝2∠BAC，
∴∠FAB＝∠BAC，
∴∠ABF＝∠FAB，
∴AF＝BF，
∵AC+DF＝BD+DF＝BF，
∴AC+DF＝AF．
8．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵E，F是对角线AC的三等分点，
∴AE＝CF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
9．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
（2）解：四边形BECD是菱形；
证明：∵△BOE≌△COD，
∴OE＝OD，BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AE∥CD，
∴∠BCD＝∠CBE，
∵BC平分∠DBE，
∴∠DBC＝∠CBE，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝DC，
∴四边形BECD是菱形．
10．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝AB，CF＝DF＝CD，
∴BE＝DF，AE＝CF，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）由（1）知AE＝CF，△AFD≌△CEB，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
11．解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
（2）∵四边形ABFC是矩形，
∴BC＝AF，AF＝EF，BE＝CE，
∴AE＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝3，
∴EF＝3．
12．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠E＝∠DCF，
∵点F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵∠EFA＝∠CFD，
∴△AFE≌△DFC（AAS），
∴CD＝AE，
∴AB＝AE；
（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，
∵BC＝2AE，
∴AE＝AF，
∵∠E＝31°，
∴∠AFE＝∠E＝31°，
∴∠DAB＝2∠E＝62°．
13．证明∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠ABD＝∠CDB
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF
14．证明：∵AF＝CE．
∴AE＝CF，
∵在 ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF．
15．证明：连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵BE＝DF，
∴OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝10，AC＝6，
∴BE＝5，CE＝3，
∵32+42＝52，
即BE2＝CE2+BC2，
∴△BEC是直角三角形，
即∠ACB＝90°；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ACB＝90°，
∴AD∥BC，AD＝BC＝4，
∴∠CAD＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，CD＝．
17．证明：∵AF＝DC，
∴AF+FC＝DC+FC，
∴AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠BAC＝∠EDF，
∵BC∥EF，
∴∠ACB＝∠EFD，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE＝CF．
19．（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ADB＝∠F，
∴BD∥EF，
∴四边形BDFE是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形BDFE是平行四边形，
∴DF＝BE＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣4＝6，AD∥BC，
∴△CEG∽△DFG，
∴＝，
即＝，
解得：EG＝，
即EG的长为．
21．证明：连接BC、AD，如图：
∵BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF
即BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分．
22．证明：连接AD、BC，如图所示：
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分．
23．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABC＝∠BCF，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE；
（2）当AD＝AF时，四边形ABFC是矩形，
理由：∵AD＝AF，四边形ABFC为平行四边形，
∴AE＝AF＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∵AE＝BC，
∴AF＝BC，
∴四边形ABFC为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
24．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠BAD＝110°，
∵AM平分∠BAD，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠DAM＝55°．
26．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．
∴∠ADB＝∠CBD．
∵∠BAD、∠BCD的平分线分别交对角线BD于点E、F，
∴∠EAD＝∠BAD，∠FCB＝∠BCD，
∴∠EAD＝∠FCB．
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
27．证明：（1）∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠F，
∴AC∥DF，
∴四边形ACFD是平行四边形．
28．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA+AE＝OC+CF，
即OE＝OF，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF．
29．（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FDE＝∠C，∠F＝∠CBE，
∵E是CD边上的中点，
∴DE＝CE，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（AAS）；
（2）解：由（1）得△BCE≌△FDE，
∴BC＝DF＝3，
∵E是CD边上的中点，
∴CD＝2DE＝4，
∴ ABCD的周长为：2（BC+CD）＝14．
30．证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF．