(共26张PPT)
2.3 平行线的性质
(第2课时)
北师大版 数学 七年级 下册
一辆汽车沿AB方向行驶，在C处拐了一个弯，行驶一段时间到D处又一次改变方向，此时车子与原来的方向是否一致？为什么？
导入新知
B
A
D
C
2. 进一步熟悉平行线的判定方法和性质.
1. 分清平行线的性质和判定；已知平行用性质，要证平行用判定 .
素养目标
3. 能够综合运用平行线性质和判定进行推理证明.
如图 ：
（1）若∠1=∠2，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（2）若∠2=∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（3）若∠2+∠3=180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
探究新知
知识点 1
平行线判定的应用
例
解：（1）∠1与∠2是内错角，若∠1=∠2，
根据“内错角相等，两直线平行” ，可得BF∥CE；
（2）∠2与∠M是同位角，若∠2=∠M，
根据“同位角相等，两直线平行” ，可得 AM∥BF；
（3）∠2与∠3是同旁内角，若∠2+∠3=180° ，
根据“同旁内角互补，两直线平行” ，可得AC∥MD.
探究新知
如图,a，b为直轨，c为枕木，根据设计要求，当c⊥a,c⊥b时，a∥b,请说明其中的道理.
解：由题意得，∠1=∠2=∠3=∠4=90°，
所以由∠1=∠3，得a∥b(同位角相等，两直线平行)
或由∠2=∠4，得a∥b(内错角相等，两直线平行)
或由∠2+∠3=180°，得a∥b(同旁内角互补，两直线平行).
巩固练习
如图， AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．
探究新知
知识点 2
平行线性质和判定的综合应用
例1
解：因为∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”，
所以EF∥CD.
又因为 AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行” ，
所以EF∥AB．
A
B
C
D
E
已知∠C=∠AED,BE平分∠ABC,试说明: ∠DBE=∠DEB.
1
2
3
4
解： 因为 ∠C=∠1，
所以BC∥DE.（同位角相等，两直线平行）
所以∠2＝∠3. （两直线平行，内错角相等）
因为BE平分∠ABC，
所以∠3=∠4 .
所以∠2=∠4 .
巩固练习
所以∠DBE=∠DEB.
如图，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1= 107° ，求∠2，∠3的度数.
探究新知
例2
解：因为 a∥b，(两直线平行，内错角相等)
所以 ∠2=∠1 =107°.
因为c∥d，(两直线平行，同旁内角互补)
所以∠1＋∠3= 180° ，
所以∠3=180° - ∠1= 180°- 107°= 73°.
如图，AB∥EF，∠ECD=∠E，则∠A=∠ECD.
理由如下：
因为∠ECD=∠E，
所以CD∥EF.( )
又AB∥EF，
所以CD∥AB.( _____ )
所以∠A=∠ECD.( _)
内错角相等，两直线平行
平行于同一直线的两条直线互相平行
巩固练习
两直线平行,同位角相等
如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗？说说你的看法．
B
D
C
E
A
解：过点E作EF//AB．
所以∠B=∠BEF．
因为AB//CD,
所以∠D =∠DEF．
所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB．
即∠B＋∠D＝∠DEB．
F
探究新知
知识点 2
添加辅助线的证明题
所以EF//CD．
如图，AB//CD，探索∠B,∠D与∠DEB的大小关系.
解：过点E作EF//AB．
所以∠B+∠BEF＝180°．
因为AB//CD,
所以EF//CD．
所以∠D +∠DEF＝180°．
所以∠B＋∠D+∠DEB
＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF
＝360°．
即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
F
巩固练习
B
D
C
E
A
讨论1：如图,AB∥CD,则 :
C
A
B
D
E
A
C
D
B
E2
E1
当有一个拐点时： ∠A+∠E+∠C= 360°，
当有两个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°，
当有三个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°.
A
B
C
D
E1
E2
E3
探究新知
…
A
B
C
D
E1
E2
En
当有n个拐点时： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C
= 180°
（n+1）.
若有n个拐点，你能找到规律吗？
探究新知
讨论2：如图,若AB∥CD, 则：
A
B
C
D
E
当左边有两个角，右边有一个角时： ∠A+∠C= ∠E.
当左边有两个角，右边有两个角时： ∠A+∠F= ∠E +∠D.
C
A
B
D
E
F
E1
C
A
B
D
E2
F1
当左边有三个角，右边有两个角时: ∠A+∠ F1 +∠C
= ∠ E1 +∠ E2.
探究新知
C
A
B
D
E1
F1
E2
Em-1
F2
Fn-1
∠A+∠F1 + ∠ F2 +…+ ∠Fn-1= ∠E1 +∠E2 +…+∠Em-1+ ∠D.
当左边有n个角，右边有m个角时：
若左边有n个角，右边有m个角,你能找到规律吗？
探究新知
1.（2020 南通）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．34°
C．32° D．30°
2.（2020 丹东）如图，CO是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交CO延长线于点D，若∠A＝45°，∠AOD＝80°，则∠CBD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
A
连接中考
B
1. 如图所示，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝ ( )
A. 180° B. 270° C. 360° D. 540°
C
课堂检测
基础巩固题
课堂检测
证明：因为 AD ∥BC（已知）
所以 ∠A+∠B＝180°.（ ）.
因为 ∠AEF=∠B,（已知）
所以 ∠A＋∠AEF＝180°.（等量代换）.
所以 AD∥EF.（ ）
两直线平行，同旁内角互补
同旁内角互补，两直线平行
2.如图，已知：AD∥BC, ∠AEF=∠B,
求证：AD∥EF.
基础巩固题
3.如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝80°，AD∥EF，∠1＝∠2，求∠BDG的度数.
解：因为AD∥EF，所以∠2＝∠DAC.
因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠DAC.
所以GD∥AC.
因为∠BAC＝80°，∠B＝∠C，
所以2∠C＝180°－∠BAC＝100°.
所以∠C＝50°.
所以∠BDG＝50°.
课堂检测
所以∠BDG＝∠C.
基础巩固题
4.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1= ∠2，试说明∠3=∠E.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
解：
因为∠1=∠2
所以AB∥EF
（内错角相等，两直线平行）.
(已知），
因为AB⊥BF，CD⊥BF，
所以AB∥CD
所以EF∥CD
所以 ∠3= ∠E
(垂直于同一条直线的两条直线平行).
(平行于同一条直线的两条直线平行).
(两直线平行，同位角相等).
课堂检测
基础巩固题
如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数.
因为EF∥AD
(已知),
所以∠2=∠3
又因为∠1=∠2
所以∠1=∠3
所以DG∥AB
所以∠BAC+∠AGD=180°
所以∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°.
（两直线平行，同位角相等）.
(已知),
（等量代换） .
（内错角相等，两直线平行）.
（两直线平行，同旁内角互补）.
D
A
G
C
B
E
F
1
3
2
课堂检测
解:
能力提升题
如图，AB∥CD，猜想∠A,∠P ,∠PCD的数量关系，并说明理由.
A
B
C
D
P
E
解法一：作∠PCE =∠APC,交AB于E.
所以 AP∥CE,
所以 ∠A+∠P=∠PCE+∠AEC.
因为AB∥CD ,所以 ∠ECD=∠AEC.
所以∠A+∠P =∠PCE+∠ECD=∠PCD.
课堂检测
所以 ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.
拓广探索题
如图，AB∥CD，猜想∠BAP,∠APC ,∠PCD的数量关系，并说明理由.
A
B
C
D
P
E
解法二：作∠APE =∠BAP.
所以 EP∥AB，
所以 EP∥CD.
所以∠EPC=∠PCD.
所以 ∠APE+∠APC= ∠PCD.
即∠BAP+∠APC =∠PCD.
课堂检测
因为AB∥CD.
判定：已知角的关系得平行的关系．
推平行，用判定．
性质：已知平行的关系得角的关系．
知平行，用性质．
平行线的“判定”与“性质”有什么不同:
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习(共28张PPT)
2.3 平行线的性质
(第1课时)
北师大版 数学 七年级 下册
思考：
根据同位角相等可以判定两直线平行，反过来如果两直线平行，同位角之间有什么关系呢？内错角、同旁内角之间又有什么关系呢？
导入新知
1. 掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补.
2. 能够根据平行线的性质进行简单的推理.
素养目标
3. 区分平行线的性质和判定的关系，培养学生逆向思维的能力.
如图，直线a与直线b平行．
（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？
相等：∠1=∠5,
∠2=∠6,
∠3=∠7,
∠4=∠8 .
探究新知
知识点 1
两直线平行，同位角相等
a
b
d
再任意画一条截线d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？
探究新知
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
探究新知
一般地，平行线具有如下性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
所以∠1=∠2
（两直线平行，同位角相等）
因为a∥b（已知）
几何语言:
探究新知
例 如图，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=60°,∠B=60°,
∠AED=40°.
（1）DE和BC平行吗？为什么？（2）∠C是多少度？为什么？
答：（1）DE∥BC， 因为∠ADE＝60°,∠B＝60°，
所以∠ADE＝ ∠B.
所以DE∥BC. （ ）
同位角相等，两直线平行
（2） ∠C =40°.因为DE∥BC ，所以∠C ＝ ∠AED.
( )
因为∠AED=40°，所以∠C =40°.
两直线平行，同位角相等
探究新知
素养考点 1
利用“两直线平行，同位角相等”求角的度数
A
B
C
D
E
如图所示，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于 ( )
A. 30° B. 35°
C. 40° D. 50°
C
巩固练习
变式训练
（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
有两对内错角：
∠3=∠6、
∠4=∠5；
因为∠3=∠7， ∠7= ∠6,
同理： ∠4=∠5.
所以∠3=∠6.
说明：
如图，直线a与直线b平行．
知识点 2
两直线平行，内错角相等
探究新知
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
b
1
2
a
c
3
所以∠2=∠3.
（两直线平行，内错角相等）
因为a∥b,（已知）
几何语言:
探究新知
例 如图，已知直线a∥b，∠1 = 50°, 求∠2的度数.
a
b
c
1
2
所以∠ 2= 50° (等量代换).
解：因为 a∥b(已知),
所以∠ 1= ∠ 2
(两直线平行,内错角相等).
又因为∠ 1 = 50° (已知),
探究新知
素养考点 1
利用“两直线平行，内错角相等”求角的度数
如图所示，AC∥BD，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠1＝ ，∠2＝ ，∠3＝ .
70°
50°
60°
巩固练习
变式训练
（1）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
（2）换另一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？
有两对同旁内角：
∠3+∠5=180°，
∠4+∠6=180°.
说明：因为∠1=∠5， ∠3 + ∠1 =180°，
所以∠3+∠5=180°.
如图，直线a与直线b平行．
知识点 3
两直线平行，同旁内角互补
探究新知
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
b
1
2
a
c
4
所以∠2+∠4=180 °
（两直线平行，同旁内角互补）
因为a∥b（已知）
几何语言:
探究新知
例 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
A
B
C
D
解：因为梯形上、下底互相平行，
所以∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
所以梯形的另外两个角分别是80°,65°.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°,
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.
探究新知
素养考点 1
利用“两直线平行，同旁内角互补”求角的度数
如图所示，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为 ( )
A. 58° B. 42°
C. 32° D. 28°
C
巩固练习
变式训练
1.（2020 葫芦岛）一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
B
连接中考
2.（2020 宿迁）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
B
1.如图所示，直线a∥b，直线c与直线a，b相交，若∠1＝56°，则∠2等于 ( )
A. 24° B. 34°
C. 56° D. 124°
C
课堂检测
基础巩固题
2.如图所示，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，则下列结论错误的是( )
A. ∠EMB＝∠END
B. ∠BMN＝∠MNC
C. ∠CNH＝∠BPG
D. ∠DNG＝∠AME
D
课堂检测
基础巩固题
3. 如图所示，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC，若∠1＝38°，则∠2的度数为 ( )
A. 38° B. 52° C. 76° D. 142°
B
课堂检测
基础巩固题
4.如图所示，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为( )
A. 60° B. 80° C. 75° D. 70°
D
课堂检测
基础巩固题
5. 如图所示，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠1＝20°，则∠2＝ °.
70
课堂检测
基础巩固题
解: 因为 AB∥DE,( )
所以∠A= ______. ( )
因为AC∥DF,( )
所以∠D+ _______=180o. ( )
所以∠A+∠D=180o.（ ）
1.有这样一道题：如图,若AB∥DE , AC∥DF，试说明∠A+∠D=180o.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
课堂检测
能力提升题
2.如图 ，一束平行光线AB与DE射向一个水平
镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？
解：（1）由 AB∥DE，可以得到∠1＝∠3，
由∠1＝∠2， ∠3＝∠4，可以得到∠2＝∠4；
（2）由∠2＝∠ 4，可以得到BC∥EF.
课堂检测
能力提升题
如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？
解：∠2=∠3，
因为两直线平行，内错角相等；
因为∠1=∠2=∠3=∠4，所以∠5=∠6，
所以进入潜望镜的光线和离开潜望镜
的光线平行.
课堂检测
拓广探索题
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
得到
得到
已知
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
