中心对称图形——平行四边形综合练习（基础）
一．选择题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意；
D、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列语句判断正确的是（ ）
A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形
D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念以及等边三角形的性质求解．
【解答】解：等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB'C'，则∠C'AB的度数为（ ）
A．18° B．82° C．64° D．100°
【分析】根据旋转可得∠CAC′＝50°，再根据角之间的和差关系可得答案．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，
∴∠CAC′＝50°，
∵∠BAC＝32°，
∴∠C′AB＝50°+32°＝82°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
4．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相平分并且是中心对称图形
【分析】根据菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形定义可得答案．
【解答】解：菱形和矩形都具有的性质是对角线互相平分并且是中心对称图形，
故选：D．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的性质以及中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5．在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【分析】根据旋转角的概念找到∠BOB′是旋转角，从图形中可求出其度数．
【解答】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转角的概念，解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角．
6．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（ ）
A．5m B．10m C．20m D．40m
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴AB＝2CD＝20（m），
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7．如图，△ABC中，∠CAB＝72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠BAB'的度数为（ ）
A．34° B．36° C．72° D．46°
【分析】由旋转的性质可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，由等腰三角形的性质可求∠ACC'＝∠AC'C＝72°，即可求解．
【解答】解：∵C′C∥AB，
∴∠C'CA＝∠CAB＝72°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴∠ACC'＝∠AC'C＝72°，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝180°﹣72°×2＝36°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC∠BAD＝30°，由直角三角形的性质求出OBAB＝1，由直角三角形的性质得出AC＝2，由旋转的性质得出AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，求出CE＝AC﹣AE＝22，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PE1，PCPE＝3，即可得出结果．
【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OBAB＝1，
∴OAOB，
∴AC＝2，
由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，
∴CE＝AC﹣AE＝22，
∵四边形AEFG是菱形，
∴EF∥AG，
∴∠CEP＝∠EAG＝60°，
∴∠CEP+∠ACD＝90°，
∴∠CPE＝90°，
∴PECE1，PCPE＝3，
∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3）1．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键．
9．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝（ ）
A．8 B．6 C．5 D．5
【分析】连接BD，BF，DF，由矩形的性质可得点M是BD的中点，点N是BF的中点，由三角形中位线定理可得MNDF，由旋转的性质可得DB＝BF＝10，∠DBF＝90°，即可求解．
【解答】解：如图，连接BD，BF，DF，
∵四边形ABCD，四边形BEFG都是矩形，M、N是AC、EG的中点，
∴点M是BD的中点，点N是BF的中点，
∴MNDF，
∵AB＝8，BC＝6，
∴AC10，
∴AC＝BD＝10，
∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，
∴DB＝BF＝10，∠DBF＝90°，
∴DFBD＝10，
∴MN＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10．正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
【分析】根据正方形的性质，余角和补角，矩形的性质逐一进行判断即可．
【解答】解：A．因为对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以A选项符合题意；
B．因为对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；
C．因为对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；
D．因为四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，余角和补角，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝OE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OAAC．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
12．如图，将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′，连接AC，AC′，若∠B＝120°，∠BAD'＝100°，则∠CAC′等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】由菱形的性质可求∠BAD＝60°，由旋转的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠DAD'＝∠BAD'﹣∠BAD＝40°，
∵将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′，
∴∠CAC'＝∠DAD'＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
二．填空题
13．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝ 4 ．
【分析】根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD＝2，
∴AB＝2CD＝2×2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若DE＝6，则BC＝ 12 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AE＝EC，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，D是AB中点，
∴1，
∴AE＝EC，
∵AD＝DB，
∴BC＝2DE＝2×6＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为 ．
【分析】利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积得到阴影部分的面积
【解答】解：阴影部分的面积
【点评】本题考查了整式的混合运算：有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
16．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是 4 ．
【分析】根据矩形性质得出AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，推出AO＝OB，得出等边三角形AOB，求出AO，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，
∴AO＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝2，
即AC＝2AO＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．
17．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝ 22.5° ．
【分析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB＝45°，又由AC＝EC，根据等边对等角，可得∠E＝∠CAE，继而利用三角形外角的性质，求得∠E的度数，根据平行线的性质，即可求得∠DAE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
【点评】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为 25 °．
【分析】由三角形的内角和定理可得∠B+∠C＝75°，由等腰三角形的性质和旋转的性质可得∠B＝∠AB'B＝2∠C，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝105°，
∴∠B+∠C＝75°，
∵AB′＝CB′，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∴∠C＝25°，
故答案为：25．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．如图，等边△ABC，边长为4，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边在右侧作等边△ADE，取AC中点F，连接EF，当EF的值最小时，BD＝ 1 ．
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得CE＝BD，∠ABD＝∠ACE＝60°，由垂线段最短可得当EF⊥CE时，EF有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，连接CE，
∵点F是AC的中点，
∴AF＝CF＝2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴点E在∠ACB的外角的角平分线上运动，
∴当EF⊥CE时，EF有最小值，
∴∠CFE＝30°，
∴CECF＝1，
∴BD＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，确定点E的运动轨迹是本题的关键．
20．如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E做EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝3，则线段CD的长是 ．
【分析】由勾股定理可求BE的长，由“SAS”可证△ABE≌△ACD，可得BE＝CD．
【解答】解：如图，连接AC，AE，BE，
∵EF＝2，BF＝3，
∴BE，
∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，
∴AD＝AE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
21．将边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°到FECG的位置（如图），EF与AD相交于点H，则HD的长为 .（结果保留根号）
【分析】先根据正方形的性质得到CD＝2，∠CDA＝90°，再利用旋转的性质得CF＝2，根据正方形的性质得∠CFE＝45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF﹣CD即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝2，∠CDA＝90°，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF＝2，∠CFE＝45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH＝DF＝CF﹣CD＝22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE＝2.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．
【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
过点C作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
过点E作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HEEC＝2.5，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．
三．解答题
23．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中D，E是对应点，若∠CAD＝18°，求∠EAC的度数．
【分析】由旋转的性质可得∠DAE＝60°，即可求解．
【解答】解：∵把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝42°．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
24．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE∥CF，DEBC，DF∥CE，DFAC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴DE＝DF，
∴四边形DFCE是菱形；
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
25．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．
【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE＝FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可．
【解答】解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE＝FB．
∵正方形ABCD，
∴∠ACB∠BCD＝45°，
在Rt△CEF中，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠ACB＝∠CFE，
∴EC＝EF，
∴FB＝EC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了等腰直角三角形的判定，本题求证Rt△AEF≌Rt△ABF是解本题的关键．
26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形．
【解答】证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DCBC，
∴四边形ADCF是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形，演艺圈的三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
27．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝CF+AE；
（2）由（1）的全等得到AE＝CM＝2，正方形的边长为6，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
28．如图，把△ABC绕点A顺时针旋转50°到△ADE的位置，若AD⊥BC于点F，求∠D的度数．
【分析】由旋转的性质可得∠B＝∠D，∠BAD＝50°，即可求解．
【解答】解：∵把△ABC绕点A顺时针旋转50°到△ADE的位置，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝50°，
∵AD⊥BC，
∴∠B＝40°＝∠D．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
29．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α得到△ADE，点B、C的对应点分别是D、E．
（1）如图1，若点E恰好与点B重合，DF⊥AB，垂足为F，求∠BDF的大小；
（2）如图2，若α＝108°，连接EC交AB于点G，求证：四边形ADEG是平行四边形．
【分析】（1）利用旋转的性质和等腰三角形的性质以及三角形的内角和即可得到结论；
（2）利用直角三角形斜边上的中线性质和含30度的直角三角形三边的关系以及旋转的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠ADB＝∠ABD＝72°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠BDF＝18°；
（2）证明：∵α＝108°，即∠CAE＝108°，
又AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝36°，
∵∠DAE＝∠BAC＝36°，
∴∠E＝∠AEC，
∴DA∥EG，
∵∠BAC＝36°，
∴∠EAB＝108°﹣36°＝72°，
∵∠AED＝∠ACB＝72°，
∴∠AED＝∠EAB，
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．
30．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）连结PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
（3）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）连结PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（2）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（3）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CHPC，PHHC，
∴BH＝4，
∴BC2＝BH2+CH2（4）2＝25+12，
∵S△ABCBC2，
∴S△ABC（25+12）9．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．中心对称图形——平行四边形综合练习（基础）
一．选择题
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列语句判断正确的是（ ）
A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形
D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB'C'，则∠C'AB的度数为（ ）
A．18° B．82° C．64° D．100°
4．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线互相平分并且是中心对称图形
5．在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
6．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（ ）
A．5m B．10m C．20m D．40m
7．如图，△ABC中，∠CAB＝72°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得C'C∥AB，则∠BAB'的度数为（ ）
A．34° B．36° C．72° D．46°
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝（ ）
A．8 B．6 C．5 D．5
10．正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
11．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
12．如图，将菱形ABCD绕点A沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′，连接AC，AC′，若∠B＝120°，∠BAD'＝100°，则∠CAC′等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二．填空题
13．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD＝2，则AB＝ ．
14．如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若DE＝6，则BC＝ ．
15．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为 ．
16．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是 ．
17．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝ ．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为 °．
19．如图，等边△ABC，边长为4，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边在右侧作等边△ADE，取AC中点F，连接EF，当EF的值最小时，BD＝ ．
20．如图，四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，将边DA绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，过点E做EF⊥BC，垂足为F，若EF＝2，BF＝3，则线段CD的长是 ．
21．将边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°到FECG的位置（如图），EF与AD相交于点H，则HD的长为 .（结果保留根号）
22．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一点，且BE＝2.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
三．解答题
23．如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°恰好得到△ABE，其中D，E是对应点，若∠CAD＝18°，求∠EAC的度数．
24．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．
25．如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．
26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．
27．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
28．如图，把△ABC绕点A顺时针旋转50°到△ADE的位置，若AD⊥BC于点F，求∠D的度数．
29．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，将△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α得到△ADE，点B、C的对应点分别是D、E．
（1）如图1，若点E恰好与点B重合，DF⊥AB，垂足为F，求∠BDF的大小；
（2）如图2，若α＝108°，连接EC交AB于点G，求证：四边形ADEG是平行四边形．
30．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．
