第十章 全等三角形的性质与判定的综合应用 专题训练（含答案）

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专题训练
全等三角形的性质与判定的综合应用
类型一 求角的度数
1.如图，BC∥EF，BC=BE，AB=FB，∠1=∠2.若∠1=55°，则∠C的度数为( )
A.25° B.55° C.45° D.35°
第1题图 第2题图
2.如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D.连接AD，CD.若∠B=55°，则∠ADC的度数为___________.
3.如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE=CD，BF=CA，连接EF.
(1)求证：∠D=∠2；
(2)若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度数.
类型二 求线段的长度
4.如图，在△ABC中，∠CAD=∠EAD，∠ADC=∠ADE.若CB=5cm，BD=3cm，则ED的长为( )
A.2 cm B.3 cm C.5 cm D.8 cm
5.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE上AB，垂足为F，且
AB=DE.若BD=8cm，则AC的长为_________.
类型三 探求线段之间的关系
6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D.若BC=ED，求证：CE=DB.
7.如图，AB=CD，AD=BC，E，F分别是AC上的点，且AE=CF.求证：
(1)AB∥CD;
(2)BE=DF.
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于
点F.
(1)△DAE与△CFE全等吗 请说明理由.
(2)若AB=BC+AD，求证：BE⊥AF.
类型四 构造全等三角形
9.(1)如图①，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求边AC上的中线BD的取值范围.小聪同学是这样思考的：延长BD至点E，使DE=BD，连接CE，利用全等将边AB转化为CE，在△BCE 中利用三角形的三边关系即可求出中线BD的取值范围.在这个过程中，小聪同学证三角形全等用到的判定方法是________________，中线BD的取值范围是＿___________＿＿.
(2)如图②，在△ABC中，D是AC的中点，点M在边AB上，点N在边BC上，且DM⊥DN.求证：AM+CN＞MN.
10.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是△ABC的角平分线.延长BD至点E，
使DE=AD，连接EC
(1)∠CDE=___________;
(2)猜想线段BC与AB+CE的数量关系，并说明理由.
参考答案
1.B 2. 55
3.(1)在△BEF和△CDA中，∴△BEF≌△CDA.∴∠D=∠2
(2)∵∠D=∠2,∠D=78°,∴∠2=78°.∵EF∥AC,∴∠BAC=∠2=78°
4.A 5. 4 cm
6.∵ED⊥AB,∠ACB=90°,∴∠ADE=∠ACB=90°.∵∠A=∠A,ED=BC,∴△AED≌ABC.∴AE=AB,AD=AC.∴AE-AC=AB-AD，即CE=DB
7.(1)在△ABD和△CDB中， ∴△ABD≌△CDB.∴∠ABD=∠CDB.∴AB∥CD
(2)由(1)，知AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF.在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF.∴BE=DF
8.(1)△DAE≌△CFE 理由：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠FCE.∵E是CD的中点，∴DE=CE.
在△DAE和△CFE中，∴△DAE≌△CFE.
(2)由(1)，知△DAE≌△CFE，∴AE=FE，AD=FC.∴AB=BC+AD=BC+CF=BF.
在△ABE和△FBE中，∴△ABE≌△FBE.∴∠AEB=∠FEB.
又∵∠AEB+∠FEB=180°，∴∠AEB=90°，即BE⊥AF
9.(1)SAS 1＜BD＜9
(2)延长ND至点F，使FD=ND，连接AF，MF.同(1)，得△AFD≌△CND，∴AF=CN.
∵DM⊥DN，∴∠FDM=∠NDM=90°.在△MDN和△MDF中，∴△MDN≌△MDF.
∴MN=MF.在△AFM中，由三角形的三边关系，得AM+AF＞MF,∴AM+CN＞MN
10.(1)60°
(2)BC=AB+CE 理由：在BC上截取BF=AB，连接DF.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠FBD.
在△ABD和△FBD中，∴△ABD≌△FBD.∴DF=DA=DE,∠FDB=∠ADB=∠CDE=60°.∴∠FDC=180°-∠ADB-∠BDF=60°=∠EDC.
在△CDF和△CDE中， ∴△CDF≌△CDE,∴CF=CE.∴BC=BF+CF=AB+CE.
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