2021-2022学年苏科版八年级数学下册10.1～10.3阶段练习（分式、分式的基本性质、分式的加减）（Word版含答案）

10.1～10.3阶段练习（分式、分式的基本性质、分式的加减）
-2021-2022学年八年级数学下册（苏科版）
一、选择题
1、下列各式中，分式的个数为（　　）
，
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2、当x＝﹣2时，下列分式有意义的是（　　）
A． B． C． D．
3、若分式有意义，则x应满足的条件为（　　）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣5 D．x≠0且x≠1
4、若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
5、下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6、下列各式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7、（2020·山东淄博·中考真题）化简的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
8、若分式，则分式的值等于（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
9、若，则的值为（　　）
A． B．3 C．5 D．7
10、（2022·江苏·八年级专题练习）已知a，b均为正数，设．下列结论：
①当时，；②当时，；③当时，，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11、当x_____时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是_____．
当x满足_____时，分式的值为负数．
12、使函数有意义的自变量x的取值范围为_____________
13、已知，求的值=___________．
14、若分式的值为正，则的取值范围是__________．
15、若分式的值为正整数，则_____________．
16、计算的结果是___．
17、已知=+，则实数A=_____．
18、已知，……，(即当为大于的奇数时；当为大于的偶数时，），按此规律，_______________．
三、解答题
19、（2022·江苏·八年级专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
20、计算下列各题
（1） ； （2）
21、先化简，再求值．
（1），其中m=5． （2），其中m=3，n=4．
22、先化简，再求值
（1），其中. （2）－，其中x＝－5，y＝2.
23、阅读材料，并回答问题：小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：
解：
①
②
③
④
问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：
24、我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
；
；
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式
（3）如果分式的值为整数，求的整数值
25、（2021·浙江·七年级专题练习）阅读理解：
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？
设分式=，将等式的右边通分得：=，
由= 得：，解得：，所以=．
（1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ；
（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．
26、（2022·福建鼓楼·八年级期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x﹣1，可设2x2+4x﹣3＝（x﹣1）（2x+m）+n．
因为（x﹣1）（2x+m）+n＝2x2+mx﹣2x﹣m+n＝2x2+（m﹣2）x﹣m+n，
所以2x2+4x﹣3＝2x2+（m﹣2）x﹣m+n
所以，解得，
所以＝＝2x+6+．
这样，分式就被拆分成了一个整式2x+6与一个分式的和的形式，
根据你的理解解决下列问题：
(1)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
(2)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2﹣n2+mn的最大值．
10.1～10.3阶段练习（分式、分式的基本性质、分式的加减）
-2021-2022学年八年级数学下册（苏科版）（解析）
一、选择题
1、下列各式中，分式的个数为（　　）
，
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分式定义：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．
【解答】解：，，是分式，共3个，
故选：B．
2、当x＝﹣2时，下列分式有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把x＝-2代入各选项分母，等于0分式无意义，不等于0分式有意义．
【解答】解：A、当x＝﹣2时，x+2＝0，无意义；
B、当x＝﹣2时，有意义；
C、当x＝﹣2时，x2﹣4＝0，无意义；
D、当x＝﹣2时，x2+3x+2＝4﹣6+2＝0，无意义．
故选：B．
3、若分式有意义，则x应满足的条件为（　　）
A．x≠0 B．x≠1 C．x≠﹣5 D．x≠0且x≠1
【分析】利用分式分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义得出答案．
【解答】解：分式有意义，
则x（x﹣1）≠0，
解得：x≠0且x≠1．
故选：D．
4、若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A、=，故A的值保持不变．
B、，故B的值不能保持不变．
C、，故C的值不能保持不变．
D、，故D的值不能保持不变．
故选：A．
5、下列等式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】C
【解析】试题分析：根据分式的化简求值，可知：
A. =，故不正确；
B. 已是最简分式，不能化简，故不正确；
C. =，故正确；
D. =-，故不正确.
故选：C.
6、下列各式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的性质分式的分子分母都乘或都除以同一个不为0的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：A、根据分式的基本性质可知：分子、分母的每一项都要除以2，故此选项错误；
B、根据分式的基本性质可得：分式的分子分母应是同时乘或除以同一个不为0的数，分式的值不变，故此选项错误；
C、1，故此选项错误；
D、a﹣1，故此选项正确；
故选：D．
7、（2020·山东淄博·中考真题）化简的结果是（ ）
A．a+b B．a﹣b C． D．
【答案】B
【详解】跟据同分母分式相加减的运算法则计算．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
【解答】解：原式＝＝＝＝a﹣b．
故选：B．
8、若分式，则分式的值等于（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据已知条件，将分式整理为y﹣x＝2xy，再代入则分式中求值即可．
【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；
∴x﹣y＝﹣2xy
将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得
＝
＝
＝
＝．
故选：B．
9、若，则的值为（　　）
A． B．3 C．5 D．7
【分析】法1：已知等式整理得到关系式5＝（+）（a+b），计算即可求出值；
法2：已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则运算，整理后得到a2+b2＝3ab，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：法1：∵+＝，
∴5＝（+）（a+b）＝2++，
则+＝5﹣2＝3；
法2：已知等式变形得：＝，
即（a+b）2＝5ab，
整理得：a2+2ab+b2＝5ab，即a2+b2＝3ab，
则+＝＝＝3．
故选：B．
10、（2022·江苏·八年级专题练习）已知a，b均为正数，设．下列结论：
①当时，；②当时，；③当时，，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】
根据分式的加减计算法则计算出M－N，再逐条分析即可．
【详解】
∵，
∴
，
由于a、b均为正数，
∴，
∴当时，，即，，故①正确；
当时，，即，，故②正确；
当时，，即，，故③正确．
故选：D．
二、填空题
11、当x_____时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是_____．
当x满足_____时，分式的值为负数．
【答案】 1 x<2且x≠-1
【分析】
根据分式有意义的条件、分式的值为0的条件及分式的值为负数的条件即可解答．
【详解】
∵分式有意义，∴，即；
∵分式的值为0，∴且，∴x=1；
∵分式的值为负数，∴x-2<0且即x-2<0且x+1≠0，∴x<2且x≠-1．
故答案为：；1；x<2且x≠-1．
12、使函数有意义的自变量x的取值范围为_____________
【答案】
【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意， ,解得：
①当时， ,解得： ,即：
①当时， ,解得： ,即：
故自变量x的取值范围为
13、已知，求的值=___________．
【答案】
【分析】
由题意利用等式的性质以及分式的基本性质分别对两式进行变形，并整体代换即可求解.
【详解】
解：由，变形可得即，
所以.
14、若分式的值为正，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
解：，
，
，
故答案为：.
15、若分式的值为正整数，则_____________．
【答案】0
【分析】本题考查了分式的化简、分式的值；掌握分式的化简，根据分式的值为正整数．利用约数的方法进行分析是解决问题的关键．
先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出的取值，从而得出的值．
解：，
要使的值是正整数，则分母必须是2的约数，
即或，
则或1(舍去)，
故答案为：．
16、计算的结果是___．
【分析】此题考查了分式的加减运算，分式的基本性质，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
根据分式的加减运算法则计算即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
17、已知=+，则实数A=_____．
【答案】1
【详解】【分析】先计算出，再根据已知等式得出A、B的方程组，解之可得．
【详解】，
∵=+，
∴，
解得：，
故答案为1．
18、已知，……，(即当为大于的奇数时；当为大于的偶数时，），按此规律，_______________．
【答案】
【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出Sn的值，每6个一循环是解题的关键．
根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2020＝336×6+4，即可得出S2020＝S4，此题得解．
解：S1＝，
S2＝﹣S1﹣1＝﹣﹣1＝﹣，
S3＝＝﹣，
S4＝﹣S3﹣1＝﹣1＝﹣，
S5＝＝﹣（a+1），
S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，
S7＝＝，
…，
∴Sn的值每6个一循环．
∵2020＝336×6+4，
∴S2020＝S4＝﹣
故答案为：﹣
三、解答题
19、（2022·江苏·八年级专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1) (2)m-n (3)1 (4)-1
【解析】
【分析】本题考查了同分母分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的运算法则即可求出答案，
(1)解：=；
(2)解：=；
(3)解：=；
(4)解：=．
20、计算下列各题
（1） ； （2）
【答案】（1）0；（2）
【分析】
（1）先通分，可化成同分母分式，根据同分母分式的加减，可得答案；
（2）从左到右依次通分相减即可．
解：（1）原式.
（2）原式.
21、先化简，再求值．
（1），其中m=5． （2），其中m=3，n=4．
【分析】
(1）先分别将分子与分母进行因式分解，再约分化为最简分式，然后把m的值代入求解即可；
（2）先分别将分子与分母进行因式分解，再约分化为最简分式，然后把m、n的值代入求解即可．
【详解】解：（1）==，
当m=5时，原式==；
（2）==，
当m=3，n=4时，原式==﹣4．
22、先化简，再求值
（1），其中. （2）－，其中x＝－5，y＝2.
解析：（1）原式.
当时，原式.
（2）原式＝－＝＝.
当x＝－5，y＝2时，原式＝＝.
23、阅读材料，并回答问题：小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：
解：
①
②
③
④
问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：
【答案】（1）③；（2）分式加法法则运用错误；（3）见解析
【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．
解：（1）③；
（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；
（3）原式，
，
，
．
24、我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，，……这样的分式是假分式；像，，……这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
；
；
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）
（2）将分式化为整式与真分式的和的形式
（3）如果分式的值为整数，求的整数值
【答案】（1）真；（2）1；（3）x=2或0．
【分析】
（1）根据所给定义进行判定即可；
（2）根据题意把分式化成整式和真分式和的形式，即可求出结论；
（3）根据题中所给的例子把原分式化为整式和真分式和的形式，再根据分式的值为整数即可求出x的值．
【详解】
解：（1）因为分子次数小于分母次数，我们称之为真分数，分式分子零次，分母1次，
所以分式是真分式；
故答案为：真；
（2）=；
（3）=；
∵分式的值为整数，且x为整数，∴x-1=±1，∴x=2或x=0
∴x的整数值为2或0．
25、（2021·浙江·七年级专题练习）阅读理解：
把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？
设分式=，将等式的右边通分得：=，
由= 得：，解得：，所以=．
（1）把分式表示成部分分式，即=，则m= ，n= ；
（2）请用上述方法将分式表示成部分分式．
【答案】（1），；（2）．
【分析】仿照例子通分合并后，根据分子的对应项的系数相等，列二元一次方程组求解.
【详解】解：(1)∵，
∴，解得：.
(2)设分式=
将等式的右边通分得：=，
由=，
得，解得.
所以=.
26、（2022·福建鼓楼·八年级期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．
解：由分母为x﹣1，可设2x2+4x﹣3＝（x﹣1）（2x+m）+n．
因为（x﹣1）（2x+m）+n＝2x2+mx﹣2x﹣m+n＝2x2+（m﹣2）x﹣m+n，
所以2x2+4x﹣3＝2x2+（m﹣2）x﹣m+n
所以，解得，
所以＝＝2x+6+．
这样，分式就被拆分成了一个整式2x+6与一个分式的和的形式，
根据你的理解解决下列问题：
(1)请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；
(2)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2﹣n2+mn的最大值．
【答案】(1)； (2)m2-n2+mn的最大值为45．
【分析】本题考查新定义下实数运算的综合应用，分式变形方法，待定系数法因式分解，二元一次方程组，完全平方公式应用，通过观察总结出有关规律并应用到题目问题的解决中是解题关键．
（1）根据材料中提供的方法，将转化为+（a+3）x+a+b，进而利用方程组求出a、b，最后再将 转化为，从而得出答案；
（2）根据（1）的方法可得 ＝5x﹣1﹣，进而得到5m﹣11+＝5x﹣1﹣ ，然后用含有x的代数式表示m、n，代入+mn后，写成 +mn＝ +45，进而求出最大值．
【详解】
(1)解：∵分式
由分母为x+1，可设．
因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b，
所以3x2+4x-1＝3x2+（a+3）x+a+b，
因此有，解得，
所以；
(2)解：由分母为x+2，可设5x2+9x﹣3＝（x+2）（5x+a）+b，
∵（x+2）（5x+a）+b＝5x2+ax+10x+2a+b＝5x2+（a+10）x+2a+b，
∴5x2+9x﹣3＝5x2+（a+10）x+2a+b，
∴有，解得，
∴，
∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，
∴5m﹣11+＝5x﹣1﹣，
∴5m﹣11＝5x﹣1，n﹣6＝﹣x﹣2，
∴m＝x+2，n＝﹣x+4，
∴m2-n2+mn＝（x+2）2-（-x+4）2+（x+2）（-x+4）=-x2+14x-4＝-（x﹣7）2+45，
∵-（x﹣7）2≤0，
∴-（x﹣1）2+45≤45，
所以m2-n2+mn的最大值为45．