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6.3三角形的中位线 学案
课题 6.3三角形的中位线 单元 第6单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1 掌握中位线的定义和中位线定理；
2 应用平行四边形判定及中位线定理解决问题.
重点 理解并应用三角形中位线定理．
难点 三角形中位线定理的探索与推导．
教学过程
导入新课 【引入思考】1 老汉的难题古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三角形的耕地，想分给四个儿子。他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。这可难坏了老汉，你能帮帮他吗？你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你能通过剪拼的方式， 将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 如图 6-19（1），在 △ABC 中，连接每两边的中 点，看上去就得到了四个全等的三角形．将 △ADE 绕 点 E 按顺时针方向旋转 180° 到 △CFE 的位置（如 图 6-19（2）），这样就得到了一个与 △ABC 面积相等 的□ DBCF．从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样 的关系？能证明你的猜想吗？根据结论，写出已知、求证并加以证明已知:如图,DE是△ABC的中位线. 求证:DE∥BC,DE=1/2B
新知讲解 提炼概念 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的 一半.典例精讲 .co 如图,任意画一个四边形，顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？请证明你的结论，并与同伴交流。
课堂练习 巩固训练 1、如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为( )A．5 B．10 C．20 D．40 2. 如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( )A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E作交AB于点F，则EF=______．4、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．5.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．
答案引入思考 学生讨论归纳总结：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 分析三角形的中位线定义的两层含义： ①∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线． ②∵ DE为△ABC的中位线， ∴ D、E分别为AB、AC的中点． 由定义可知：三角形的中位线有三条.归纳得出结论：结论:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.探究二：证明：如图 6-20（2），延长 DE 到 F，使 FE = DE，连接 CF． 在 △ADE 和 △CFE 中， ∵ AE = CE，∠ 1 = ∠ 2，DE = FE， ∴ △ADE ≌ △CFE. ∴ ∠ A = ∠ ECF，AD = CF.∴ CF∥AB. ∵ BD = AD， ∴ CF = BD.归纳：三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.几何语言：∵DE是△ABC的中位,∴DE∥BC,ED=1/2BC这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据. 提炼概念典例精讲 解：四边形EFGH是平行四边形. 连接AC，在△ABC中， 因为E、F分别是AB、BC边的中点，即EF是△ABC的中位线. 所以EF//AC，EF= AC 在△ADC中，同理可得 HG//AC，HG= AC 所以EF//HG，EF=HG 所以四边形EFGH是平行四边形 巩固训练 1.C2.B3. 1.54.证明：在△MBF和△MEA中：
∵AD∥BC
∴∠MBF =∠MEA , ∠MFB =∠MAE
又 E、F分别是AD、BC的中点
∴BF = EA
∴△MBF≌△MEA ∴BM = ME
同理：CN =NE
∴MN是△EBC的中位线
∴MN∥BC 5.证明：如图，连接BD.∵点E，H分别是边AB，DA的中点，∴EH为△ABD的中位线．∴EH∥BD，EH＝ BD.同理可得：FG∥BD，FG＝ BD.∴EH∥FG，EH＝FG.∴四边形EFGH是平行四边形．
课堂小结 1、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．2、三角形中位线性质定理：三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半．顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
B
C
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6.3三角形的中位线教案
课题 6.3三角形的中位线 单元 第6单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1 掌握中位线的定义和中位线定理；
2 应用平行四边形判定及中位线定理解决问题.
重点 理解并应用三角形中位线定理．
难点 三角形中位线定理的探索与推导．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题老汉的难题古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三角形的耕地，想分给四个儿子。他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。这可难坏了老汉，你能帮帮他吗？提出问题：问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗 问题2：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？ 这是两个问题如何解决呢？老师引导学生提出假设的解决方案：（1）连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形（如图）指出DE是三角形的中位线。提出问题：根据图形你总结三角形的中位线的定义吗？学生讨论归纳总结：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 分析三角形的中位线定义的两层含义： ①∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线． ②∵ DE为△ABC的中位线， ∴ D、E分别为AB、AC的中点． 由定义可知：三角形的中位线有三条.（2）将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180 到△CFE 的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC 面积相等的□DBCF．21教育网2.提出问题：从上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？学生观察分析、讨论归纳得出结论：结论:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.根据结论，写出已知、求证并加以证明已知:如图,DE是△ABC的中位线. 求证:DE∥BC,DE=1/2B教师引导学生分析：根据第二个 ( http: / / www.21cnjy.com )问题的解决方案可知DE=EF,DE∥BC,因此证明此结论，可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.www.21-cn-jy.com学生自主完成证明过程：证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,∴△ABC≌△CDA(SAS).∴AD=CF,∠ADE=∠F.∴BD∥CF.∵AD=BD,∴BD=CF.∴四边形ABCD是平行四边形.∴DF∥BC,DF=BC.∴DE∥BC,DE=1/2DF=1/2BC归纳：三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.几何语言：∵DE是△ABC的中位,∴DE∥BC,ED=1/2BC这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据. 利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,你可以证明分割出的四个小三角形全等吗？.21世纪教育网版权所有学生根据题意，写出已知、求证，并加以证明：已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.证明:∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.DE=BF=FC,DF=AE=EC,EF=AD=BD(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS). 思考自议理解和领会三角形中位线的概念． 经过探索三角形中位线定理的过程，理解它与平行四边形的内在联系，感悟几何学的推理方法．
讲授新课 提炼概念 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的 一半.三、典例精讲 议一议：如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流．21cnjy.com学生观察讨论回答：新四边形是平行四边形.根据题意，学生写出已知、求证并加以证明：已知：如图所示，在四边形ABCD中，E、F、H、M分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFHM是平行四边形．分析：因为已知点分别是四边形各边中点， ( http: / / www.21cnjy.com )如果连结对角线就可以把四边形分成三角形，这样就可以用三角形中位线定理来证明出四边形EFGM对边的关系，从而证出四边形EFGH是平行四边形．21·cn·jy·com证明：连结AC．∵AM=MD，CH=HD∴HM//AC，HM=1/2AC（三角形中位线定理）．同理，EF//AC，EF=1/2AC∴HMEF∴四边形EFGH是平行四边形． 理解并掌握三角形中位线定理及其应用． 培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，体会几何学在日常生活中的应用价值．
课堂检测 四、巩固训练1、如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为( )A．5 B．10 C．20 D．40 C2. 如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( )A．50 m B．48 m C．45 m D．35 mB3、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E作交AB于点F，则EF=______．1.54、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MN∥BC．证明：在△MBF和△MEA中：
∵AD∥BC
∴∠MBF =∠MEA , ∠MFB =∠MAE
又 E、F分别是AD、BC的中点
∴BF = EA
∴△MBF≌△MEA ∴BM = ME
同理：CN =NE
∴MN是△EBC的中位线
∴MN∥BC 5.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：如图，连接BD.∵点E，H分别是边AB，DA的中点，∴EH为△ABD的中位线．∴EH∥BD，EH＝ BD.同理可得：FG∥BD，FG＝ BD.∴EH∥FG，EH＝FG.∴四边形EFGH是平行四边形．
课堂小结 1、三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．2、三角形中位线性质定理：三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半．顺次连接四边形各边中点的线段组成一个平行四边形.
B
C
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北师大版 八年级下
6.3三角形的中位线
情境引入
老汉的难题
古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三角形的耕地，想分给四个儿子。他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平。这可难坏了老汉，你能帮帮他吗？
B
C
A
小明同学把三角形分成了四个全等的三角形，猜一猜他是怎样做的？
做法:连接每两边的中点.
B
C
A
D·
·E
·F
B
C
A
D·
·E
·F
小明是这样做的：
（1）连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形的中位线定义的两层含义：
（2）∵ DE为△ABC的中位线，
（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线．
∴ D、E分别为AB、AC的中点．
B
中位线是两个中点的连线，
而中线是一个顶点和对边中点的连线。
C
A
F
E
D
A
C
B
三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
（2）将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180 到△CFE 的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC 面积相等的□DBCF．
A
B
C
D
F
E
从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？
合作学习
猜想:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
已知:如图,DE是△ABC的中位线.
分析:要证明线段的倍分关系到,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系,于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.
D
E
B
C
A
求证:DE∥BC,DE= BC
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF.
∵ AE=CE,∠AED=∠CEF,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∴AD=CF,∠ADE=∠F.
∴BD∥CF.
∵AD=BD,
∴BD=CF.
D
E
B
C
A
F
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC,
提炼概念
三角形中位线的性质
定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.
∵DE是△ABC的中位,
D
E
B
C
A
几何语言：
∴DE∥BC,ED= BC
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”,可以证明小明分割出的四个小三角形全等.
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.
求证: △ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
B
C
A
D
E
F
证明:
∵ D,E,F分别是△ABC各边的中点.
(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半)
∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).
分析:利用三角形中位线性质,可转化用(SSS)来证明三角形全等.
典例精讲
议 一 议
如图，任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流.
证明：如图，连接AC.
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，HG∥AC，HG= AC.
∴EF∥HG，EF=HG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
归纳概念
中点四边形的定义：
依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形．
拓展：
不管四边形的形状怎样改变，中点四边形始终是平行四边形．
课堂练习
1、如图2，D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为( )
A．5 B．10 C．20 D．40
C
2. 如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED. 现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则AB＝( )
A．50 m B．48 m
C．45 m D．35 m
B
3、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E作交AB于点F，则EF=______．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，
∴CD= AB=3，
∵过AC的中点E作EF//CD交AB于点F，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF= CD=1.5；
证明：在△MBF和△MEA中： ∵AD∥BC ∴∠MBF =∠MEA , ∠MFB =∠MAE 又 E、F分别是AD、BC的中点 ∴BF = EA ∴△MBF≌△MEA ∴BM = ME 同理：CN =NE ∴MN是△EBC的中位线 ∴MN∥BC
4、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，
求证：MN∥BC．
5.如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：如图，连接BD.
∵点E，H分别是边AB，
DA的中点，
∴EH为△ABD的中位线．
∴EH∥BD，EH＝ BD.
同理可得：FG∥BD，FG＝ BD.
∴EH∥FG，EH＝FG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
课堂总结
定义
性质
三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
作业布置
教材课后配套作业题。
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