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第2课时 线段的垂直平分线
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并能够说出线段垂直平分线的意义和性质,且能够应用它们证明或解决有关问题;
2.会画线段的垂直平分线.
【过程与方法】
经历探索线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的画法的过程,体会数学的转化思想.
【情感、态度与价值观】
通过学习线段垂直平分线的性质和轴对称的特点,发展空间观念.
◇教学重难点◇
【教学重点】
线段垂直平分线的性质的理解和应用.
【教学难点】
利用线段的垂直平分线,解决实际问题.
◇教学过程◇
一、问题导入
在生活中,我们除了等腰三角形这个简单的轴对称图形之外,还会遇到一种简单的轴对称图形——线段.那么线段到底有哪些性质呢
二、合作探究
探究点1 线段的垂直平分线的性质
典例1 如图,AD平分∠BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于点F,连接AF.
试说明:∠B=∠CAF.
[解析] 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.
因为EF垂直平分AD,所以AF=DF,所以∠ADF=∠DAF.
因为∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠CAF+∠CAD,所以∠B=∠CAF.
线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.在已知条件中如果有线段的垂直平分线,就可以很容易得到“另外的线段”相等,再根据等边对等角,又可以得到角相等,这就体现出数学上的“转化思想”.
变式训练 如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的垂直平分线,射线m平分∠ABC,l与m相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,求∠ABP的度数.
[解析] BP平分∠ABC,所以∠ABP=∠CBP.
因为直线l是线段BC的垂直平分线,
所以BP=CP,
所以∠CBP=∠BCP,
所以∠ABP=∠CBP=∠BCP.
因为∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠A=60°,∠ACP=24°,
所以3∠ABP+24°+60°=180°,
解得∠ABP=32°.
探究点2 线段的垂直平分线的画法
典例2 如图,某地由于居民增多,要在公路l边增加一个公共汽车站,A,B是路边两个新建的小区,这个公共汽车站C建在什么位置,能使两个小区到车站的路程一样长 (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写画法)
[解析] 如图所示.
【技巧点拨】对于作图题,首先要理解题意,弄清问题中对所作图形的要求,结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图.如果是求到两个点的距离相等的点,就要作这两点连线的垂直平分线.
变式训练 如图,有A,B,C三个居民小区,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 ( )
A.AC,BC两边高线的交点处
B.AC,BC两边垂直平分线的交点处
C.AC,BC两边中线的交点处
D.∠A,∠B两内角平分线的交点处
[答案] B
三、板书设计
线段的垂直平分线
线段的
垂直平
分线
◇教学反思◇
本节课学习了线段垂直平分线的定义、性质、判定,由线段垂直平分线的性质可以得出线段相等.要判定线段的垂直平分线有两种方法:①根据定义;②根据判定定理.在教学中,让学生主动参与,理解线段垂直平分线的性质与判定的区别、联系,同时在线段垂直平分线的性质的教学中渗透数学的转化思想.
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第2课时 线段的垂直平分线
第五章 生活中的轴对称
5.3 简单的轴对称图形
七年级数学下册同步（北师大版）
A
C
E
B
D
下图表示的为某班的座位排列情况，每行每列的间隔相同．ＡＢ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五位同学的作为如图所示，他们的座位存在怎么样的关系？同学Ｃ、Ｄ、Ｅ与同学Ａ、Ｂ之间的距离有什么特征？
情境引入
M
N
A
C
E
B
D
①直线ＭＮ是线段ＡＢ的垂直平分线
②猜测：直线ＭＮ上的点到Ａ、Ｂ两点的距离相等
猜测1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
A
B
P
M
N
C
探究
已知：如图，直线MN⊥线段AB,垂足为C, 且AC=CB.
求证：PA=PB
A
B
P
M
N
C
证明：∵ MN⊥AB 于点C （已知）,
∴ ∠PCA= ∠PCB=90°（垂直的定义）．
在 △PAC和△PBC中，
AC=BC（已知）,
∠PCA= ∠PCB（已证）,
PC=PC（公共边）
∴ △PAC ≌△ PBC（SAS）.
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等。
A
B
P
M
N
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
A
B
P
M
N
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知）
∴PA=PB
（线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等。 ）
猜测２：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知：如图，PA=PB
求证：P在AB的垂直平分线上
证明：过P点作MN⊥AB，垂足为Ｃ
∵PA=PB（已知）
∴AC=BC
（等腰三角形的“三线合一”）
A
B
P
M
N
Ｃ
∴ MN是AB的垂直平分线
∴P在AB的垂直平分线上
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
点P在线段AB的垂直平分线上
PA=PB
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
点P在线段AB的垂直平分线上
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上
（和一条线段两个端点
距离相等的点，在这条线段
的垂直平分线上）
A
B
P
M
N
例１ 已知：如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线
交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长
证明： ∵ DE是AB边的中垂线 （已知），
∴AE=BE（线段垂直平分线上的点
和这条线段两个端点的距离相等）．
∴AE+EC=BE+EC=8cm
（等式性质）.
∵AC=8cm（已知）,
∴ C△BEC=BE+EC+BC
=8+6=14cm
又∵ BC=6cm（已知）
有垂直平分线，就有等腰三角形的产生
例２ 已知:如图,ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.
求证：（１）PA=PB=PC;
（２）点P在边AC的垂直平分线上
B
A
C
D
E
F
G
P
PA=PB=PC
PB=PC
点P在线段BC的垂直平分线上
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
题型转换：证明三角形的三条边的垂直平分线相交于一点
1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为
直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为
（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
P
A
B
C
D
B
当堂练习
2.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平
分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的
周长等于18cm,则AC的长是 .
10cm
A
B
C
D
E
3.如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平
分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,
BD=6cm,那么EA=_______, DA=_______.
A
B
E
D
C
4cm
6cm
解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线,
∴EB=EA,
∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
=AC+CE+EB
=AC+BC
=4+5
=9.
4.如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、
BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周长.
A
D
B
E
C
解：∵AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
∴AB =AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
∴AC =CE．∴AB =AC =CE．
∴AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE.
5.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直
平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
如图,A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，请给予说明理由.
拓展提升
A
●
B
●
C
●
提示：连接AB,AC,分别作AB,AC的垂直平分线，两线交于一点，这点即为所求的点P.
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上。
有垂直平分线，就有等腰三角形的产生
课堂小结
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