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第3课时 角平分线的性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解并能够说出角平分线的意义和性质,且能够应用它们证明或解决有关问题;
2.会画角的平分线.
【过程与方法】
经历探索角平分线的性质、角平分线的画法的过程,体会数学的转化思想.
【情感、态度与价值观】
在探讨作角平分线的方法及角平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣,增强学生解决问题的信心,让他们在探索中获得成功的体验.
◇教学重难点◇
【教学重点】
角平分线性质的理解和应用.
【教学难点】
利用角平分线解决实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
如图,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500 m,这个集贸市场应建于何处
二、合作探究
探究点1 角平分线的性质
典例1
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB交AB于点E,点F在AC上,∠FDC=∠BDE.试说明:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
[解析] (1)因为AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,所以DE=DC,∠C=∠DEB=90°.
在△CDF和△EDB中,
所以△CDF≌△EDB(ASA),
所以CF=EB.
(2)因为AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
所以AC=AE,
所以AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.因此,有角平分线,就有线段相等(注意是垂线段相等),也很容易得到全等三角形.
变式训练 如图,在四边形ADBC中,AB与CD互相垂直平分,垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段;
(2)OE,OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段,试说明它们的大小有什么关系.
[解析] (1)因为AB,CD互相垂直平分,
所以OC=OD,AO=OB,AC=BC=AD=BD.
(2)OE=OF.
理由:在△AOC和△AOD中,
所以△AOC≌△AOD(SSS),
所以∠CAO=∠DAO,即AO为∠DAC的平分线.
又因为OE⊥AC,OF⊥AD,
所以OE=OF.
探究点2 角平分线的画法
典例2 如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD于点M.若∠ACD=120°,求∠MAB的度数.
[解析] 因为AB∥CD,
所以∠ACD+∠CAB=180°.
又因为∠ACD=120°,所以∠CAB=60°.
由尺规作图知AM是∠CAB的平分线,
所以∠MAB=∠CAB=30°.
【技巧点拨】熟记作角平分线的三个步骤,根据所给的题目,判断是否作角的平分线,再利用角的平分线的性质解决问题.
三、板书设计
角平分线的性质
◇教学反思◇
本节课采用了动手操作以及讨论交流等教学方法,有效地增强了学生对角以及角平分线性质的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.
不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进一步加强巩固和训练.
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第五章 生活中的轴对称
5.3 简单的轴对称图形
第3课时 角平分线的性质
七年级数学下册同步（北师大版）
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
情境问题一
C
结论：
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
A
B
O
有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？
情境问题二
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
N
O
M
C
E
N
M
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求．
将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
情境问题三
(2)猜想:
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
探究角平分线的性质
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
(3)验证猜想
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线上的点到角两边的距离相等。
(4)得到角平分线的性质：
利用此性质怎样书写推理过程
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边
的距离相等。
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
判断：
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
练一练
1、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE ( 角的平分线上
的点到角的两边的
距离相等 )))
PD⊥OA，PE⊥OB
B
O
A
C
D
P
E
3、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言:
E
D
O
A
B
P
C
∵ OC是∠AOB的平分线,
又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE(角的平分线上的点
到角的两边距离相等).
课堂小结
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