黑龙江省哈尔滨六十九中2020-2021学年八年级（下）3月月考数学试卷（五四学制）(word解析版)

黑龙江省哈尔滨六十九中2020-2021学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
在 中，则的度数为
A. B. C. D.
能判定四边形为平行四边形的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
如图，、、表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
如图，若、、分别是三边中点，，，，则的周长为
A.
B.
C.
D.
如图，一个正方体实心木块的棱长为，一只蚂蚁从点到点处吃到食物，那么爬行的最短距离是．
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为
A.
B.
C.
D.
顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形是菱形，需要添加的条件是
A. B. C. D.
下列命题中，其逆命题不成立的是
A. 三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形
B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
C. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，这是年北京召开国际数学家大会的会徽，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别是、，则的值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
在中，，，，则______．
平面直角坐标系中，已知点，则线段的长为______．
如图，在 中，，，，的周长是______ ．
如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是______ ．
如图，在 中，，，于点，则的度数为______．
如图，矩形中，，，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是______．
如图，在中，，于点，，是斜边的中点，是______度．
一等腰三角形的腰长为，且腰上的高为，则其底边长为______ ．
如图，点、分别是菱形的边、上的点，，，，则的度数为______．
如图，在中，，点为延长线上一点，且，连接，点、分别为、的中点，连接、，当，时，则的长度为______．
三、解答题（本大题共7小题，共60分）
在中，，于，，，
求的长；
求的长．
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
的形状为______；
画线段，且使，连接；
请直接写出四边形的面积．
阅读下列题目的解题过程：
已知、、为的三边，且满足，试判断的形状．
解：
是直角三角形
问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______；
错误的原因为：______；
本题正确的结论为：______．
如图，在中，是边的中点，分别过点、作射线的垂线，垂足分别为、，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
若，在不添加辅助线的条件下，直接写出与面积相等的所有三角形．
如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为海里．
求灯塔到航线的距离；
在航线上有一点，且，若轮船的航速为海里时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？结果保留根号
已知，如图，在平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在第一象限，连接和，，，的面积为．
求点的坐标；
若动点从点出发以每秒个单位的速度沿轴正方向运动，运动时间为秒，的面积为，求与的关系式，并直接写出的取值范围；
在的条件下，当点在线段上，若时，在平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
已知，在四边形中，与相交于点，，，平分．
如图，求证：四边形是菱形；
如图，过点作于，若，，求的长；
如图，，点为延长线上一点，连接交于点，点、分别是、边上一点，且，过点作的垂线，垂足为，，当，时，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
2.【答案】
【解析】解：在 中，
．
故选：．
根据平行四边形的邻角互补即可得出的度数．
本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
3.【答案】
【解析】解：、，，则四边形是平行四边形或等腰梯形；故本选项错误；
B、，，则四边形为平行四边形；故本选项正确；
C、，，则四边形为等腰梯形或矩形；故本选项错误；
D、，，不能判定四边形为平行四边形；故本选项错误．
故选：．
直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
此题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是解此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由正方形的面积公式可知：
右边正方形的边长，左边正方形的边长，下边正方形的边长，
由勾股定理可知：
，即．
故选：．
根据正方形的面积边长边长可表示出三个正方形的边长，结合勾股定理即可得出结论．
本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理，解题的关键是表示出三个正方形的边长．
5.【答案】
【解析】解：，，分别是，，边的中点，，，，，
，，，
的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理分别求出、、，根据三角形的周长公式即可得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图，根据题意可知最短距离为，
根据勾股定理得：．
蚂蚁爬行的最短距离为．
故选：．
展开后利用勾股定理计算即可．
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，解题的关键是会将正方体的侧面展开，并利用勾股定理解答，注意分类讨论的思想的应用．
7.【答案】
【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
故选：．
根据矩形的性质求出，，，，求出，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能熟记矩形的对角线相等且互相平分是解此题的关键．
8.【答案】
【解析】解：添加．
如图，，、、、分别是线段、、、的中点，
则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，
，，
当时，
成立，
则四边形是菱形．
故选：．
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
定义；
四边相等；
对角线互相垂直平分．
本题考查菱形的判定和三角形中位线定理．本题是开放题，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，再证明结论．
9.【答案】
【解析】解：、逆命题为：直角三角形的三边为、、，满足，不成立，符合题意；
B、逆命题为：平行四边形的两组对边分别平行，成立，不符合题意；
C、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立，不符合题意；
D、逆命题为：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形，成立，不符合题意．
故选：．
交换命题的题设和结论后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
10.【答案】
【解析】解：大正方形的面积是，
，
小正方形的面积是，
，
解得，
．
故选：．
利用四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积，可求解，，再利用完全平方公式计算可求解．
本题主要考查勾股定理的证明，正方形的面积，完全平方公式，求解，是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：中，，，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
，
故答案为：．
先判定是等腰直角三角形，再根据勾股定理进行计算，即可得到的长．
本题主要考查了等腰直角三角形以及勾股定理的运用，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
12.【答案】
【解析】解：过作轴于，
，
，，
．
故答案为：．
过作轴于，直接根据勾股定理计算即可．
本题考查了勾股定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
13.【答案】
【解析】解：、是 的对角线，
，，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
求的周长，就要求出，，的长，根据平行四边形的性质：对角线平分和对边相等即可求得．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，
在中，，
是直角三角形，
．
故答案是：．
先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得出，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行解答．
16.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，，，
沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，
，，
在中，，
，
设，，
在中，，
，解得，
即的长为．
故答案为．
先利用矩形的性质得，，，则根据折叠的性质得，，再利用勾股定理计算出，则，设，，然后利用勾股定理得到，再解方程求出即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是求出和用表示．
17.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
是的中点，，
，
，
，
故答案为：．
先求出和，再根据直角三角形两锐角互余求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据等边对等角可得，再求出．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
18.【答案】或
【解析】解：分两种情况：
顶角是钝角时，如图所示：
在中，由勾股定理，得，
，
，
在中，由勾股定理，得，
；
顶角是锐角时，如图所示：
在中，由勾股定理，得，
，
．
在中，由勾股定理，得，
；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为或．
故答案为：或．
此题要分两种情况进行讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，先在中由勾股定理求出，于是，然后在中利用勾股定理即可求出即可；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在三角形的内部，在中由勾股定理求出，于是，然后在中利用勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，即，
又，即，
，
在与中，
，
≌，
，
又，则是等边三角形，
，
又，
则．
故答案为：．
首先证明≌，然后推出，证明是等边三角形，最后可求出，的度数．
此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定、三角形的内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
20.【答案】
【解析】解：过作于，
，
，
点为的中点，
，
，
，
设，
，
点是的中点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，点为的中点，
．
过作于，得到，根据三角形中位线定理得到，设，得到，根据线段中点的定义得到，推出是等腰直角三角形，求得，根据直角三角形的性质健康得到结论．
本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：在中
由勾股定理得：；
由面积公式得：
．
【解析】用勾股定理求出斜边的长度；
用面积就可以求出斜边上的高．
考查了勾股定理，利用勾股定理和直角三角形的面积相结合，求解斜边上的高是解直角三角形的重要题型之一，也是中考的热点．
22.【答案】直角三角形
【解析】解：，，，
，
的形状为直角三角形；
故答案为：直角三角形；
如图所示，即为所求；
四边形的面积．
根据勾股定理逆定理即可解决问题；
根据网格即可画线段，且使，连接；
结合利用网格即可求出四边形的面积．
本题考查了作图应用与设计作图，平行线的判定与性质，勾股定理，勾股定理逆定理，解决本题的关键是掌握勾股定理逆定理．
23.【答案】；
没有考虑的情况；
是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 ．
【解析】
解：由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：，
故答案为：；
错误的原因为：没有考虑的情况，
故答案为：没有考虑的情况；
本题正确的结论为：是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，
故答案为：是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【分析】
根据题目中的书写步骤可以解答本题；
根据题目中到可知没有考虑的情况；
根据题意可以写出正确的结论．
本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
24.【答案】证明：在与中
是中点，
，
，
在与中
，
≌
，
四边形是平行四边形；
与面积相等的三角形有、、、、．
【解析】根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定证明即可；
利用三角形的面积解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质得出．
25.【答案】解：由题意可得：，海里，
，
过点作于，
，
，
答：灯塔到航线的距离是海里；
，，
，
，
，
海里，
在中，，根据勾股定理得，
海里，
海里，
小时；
答：轮船从到处所用的时间为小时．
【解析】由题意得到，海里，求得，过点作于，根据直角三角形的性质即可得到结论；
根据三角形的外角的性质得到，求得海里，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26.【答案】解：如图，过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在上时，，
，
，
；
如图，当点在的延长线上时，
，
，
；
综合以上可得，与的关系式为或；
存在点，如图，
当时，即，
，
，
，
，
若点、、、为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，
当是边时，
四边形是平行四边形，
，，
，
或，
当为对角线时，过点作于，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
≌，
，，
，
．
综上所述，当点的坐标为、、时，使点、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】过点作于，由等腰直角三角形的性质得出，由三角形面积求出，则可得出答案；
分两种情况，由三角形面积公式可得出答案；
分两种情况画出图形，由平行四边形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
27.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解： 是菱形，
，，，
，
在中，根据勾股定理，
，
，
；
解：，，
，
是等边三角形，
，
过点作于点，
，
，
，
在中，根据勾股定理 ，
过点作于．
四边形是菱形，
，
，
，，
，
又，
≌，
，
，，
即，
又 为公共边，
≌，
，
设，则，，
在中，，根据勾股定理，
，
解得，
．
【解析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
利用菱形面积的两种求法，构建关系式解决问题即可；
过点作于点，过点作于证明≌，推出，证明≌，推出，设，则，，在中，，根据勾股定理，构建方程求出即可．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
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