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6.4.1 多边形内角和与外角和(一) 学案
课题 6.4.1 多边形内角和与外角和(一) 单元 第6单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1 掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想;2 经历探索多边形的内角和公式的过程;会应用公式解决问题。
重点 探索多边形内角和公式。
难点 将多边形转化为三角形，并找出他们的关系，转化的数学思想方法的渗透。
教学过程
导入新课 【引入思考】1 如图,对于一般的四边形它的内角和是否也等于360°？你是怎么得到的？【定义】 叫做多边形. 活动探究一：小组活动，回答下列问题。下图中广场中心的边缘是一个五边形,你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴交流.据此完成下表： ( http: / / www.21cnjy.com )归纳小结：从多边形的一个顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形,从而得出：n 边形的内角和是(n-2)·180°21·cn·jy·co
新知讲解 提炼概念 定理：n边形的内角和等于(n-2)·180° 典例精讲 .co 例：如图6-24，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°， ∠B与∠D有怎样的关系？想一想：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正 八边形的内角分别是多少度？正n 边形的内角是多少度？正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正 八边形的内角分别是多少度？正n边形的内角是 (n-2)×180° /n 议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流.
课堂练习 巩固训练 1.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 ( )A.增加180° B.增加360°C.减少360° D.不变2. 如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？4.在五边形ABCDE中，∠A +∠B =240°,∠C =∠D=∠E=2∠B.求∠B的度数.5.如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
答案引入思考 【定义】在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. 归纳总结如下： 计算过程如下：方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为：3×180 =540 方法2：如图2，在AB上任取点F，连FC、FD、FE， 则五边形的内角和为：4×180-180 =540 方法3：如图3，在五边开外任取一点O，连结OA、 OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：4×180 -180 =540°21cnjy.com方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：5×180 -360 =540° 【来源：21·世纪·教育·网】定理：n边形的内角和等于(n-2)·180° 提炼概念典例精讲 例 解：∵ ∠A+∠B +∠C+∠D =（4-2）×180 = 360° ∴ ∠B +∠D =360 -（∠A+∠C） =360 -180° =180 学生分组讨论，归纳结论如下：五边形： 540 四边形：360 三角形：180 巩固训练1.A 2.B3.解：设多边形的边数为n由n边形内角和= (n-2) 180°多边形外角和等于360 ∴(n-2) 180 =2×360 解得: n=6∴这个多边形的边数为6∴ 每个内角等于=720 ÷6=120 4.解：∵五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°， 又∵∠A+∠B＝240°， ∴∠A＝240°－∠B， 又∵∠C＝∠D＝∠E＝2∠B， ∴240°－∠B+∠B+2∠B+2∠B+2∠B＝540°， 解得∠B＝50°5.解：如图所示，连接BF.则∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4， ∵∠1＝∠2， ∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G ＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E ＝（5－2）×180°=5400
课堂小结 1、多边形的内角和公式,即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.2、正n边形的内角是(n-2)×180°/n
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6.4.1 多边形内角和与外角和(一) 教案
课题 6.4.1 多边形内角和与外角和(一) 单元 第6单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1 掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想;2 经历探索多边形的内角和公式的过程;会应用公式解决问题。
重点 探索多边形内角和公式。
难点 将多边形转化为三角形，并找出他们的关系，转化的数学思想方法的渗透。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题如图,对于一般的四边形它的内角和是否也等于360°？你是怎么得到的？（教师引导学生说出几种解题思路，并过度到本节课的知识点）活动探究一：小组活动，回答下列问题。下图中广场中心的边缘是一个五边形,你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴交流.【定义】在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. 归纳总结如下： 计算过程如下：方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为：3×180 =540 方法2：如图2，在AB上任取点F，连FC、FD、FE， 则五边形的内角和为：4×180-180 =540 方法3：如图3，在五边开外任取一点O，连结OA、 OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：4×180 -180 =540°21cnjy.com方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：5×180 -360 =540° 【来源：21·世纪·教育·网】由求五边形的内角和的过程可知，可把求多边形的内角和转化为求多个三角形的内角和.据此完成下表： ( http: / / www.21cnjy.com )归纳小结：从多边形的一个顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )可以引出（n-3) 条对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形,从而得出：n 边形的内角和是(n-2)·180°21·cn·jy·com定理：n边形的内角和等于(n-2)·180° 思考自议老师深入学生活动中指导倾听学生交流，在学生已学的知识基础和经验上引导学生添加辅助线转化为三角形。 四边形为多边形中较简单的多边形，有利于探索它与三角形的关系，为多边形转化为三角形打基础；学生亲自操作，寻找数学结论有利于激发学习兴趣，体会解决问题方法的多样性，培养学生发散思维。探索过程中，发展学生分析问题、解决问题和推理问题能力。
讲授新课 提炼概念 定理：n边形的内角和等于(n-2)·180° 三、典例精讲 例：如图6-24，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°， ∠B与∠D有怎样的关系？解：∵ ∠A+∠B +∠C+∠D =（4-2）×180 = 360° ∴ ∠B +∠D =360 -（∠A+∠C） =360 -180° =180 想一想：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正 八边形的内角分别是多少度？正n 边形的内角是多少度？正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正 八边形的内角分别是多少度？正n边形的内角是 (n-2)×180° /n 议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流. 学生分组讨论，归纳结论如下：五边形： 540 四边形：360 三角形：180 通过归纳，体会数与形间的相会联系，在交流合作中，感受合作的重要性。 通过探究发现和概括边数和内角的关系；
课堂检测 四、巩固训练1.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 ( )A.增加180° B.增加360°C.减少360° D.不变A2. 如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )A．①② B．①③ C．②④ D．③④ B3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？解：设多边形的边数为n由n边形内角和= (n-2) 180°多边形外角和等于360 ∴(n-2) 180 =2×360 解得: n=6∴这个多边形的边数为6∴ 每个内角等于=720 ÷6=120 4.在五边形ABCDE中，∠A +∠B =240°,∠C =∠D=∠E=2∠B.求∠B的度数.解：∵五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°， 又∵∠A+∠B＝240°， ∴∠A＝240°－∠B， 又∵∠C＝∠D＝∠E＝2∠B， ∴240°－∠B+∠B+2∠B+2∠B+2∠B＝540°， 解得∠B＝50°5.如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.解：如图所示，连接BF.则∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4， ∵∠1＝∠2， ∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G ＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E ＝（5－2）×180°=5400
课堂小结 1、多边形的内角和公式,即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.2、正n边形的内角是(n-2)×180°/n
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北师大版 八年级下
6.4.1 多边形内角和与外角和(一)
情境引入
三角形的内角和是多少？
在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形.
顶点
对角线
边
内角
外角
如图,对于一般的四边形它的内角和是多少？你是怎么得到的？
思路2：把四个角剪下来，
可以拼成一个周角.
思路1：用量角器测量.
思路3：如图连接一条对角线，把四边形分割成两个三角形，两个三角形的内角和就是360°.
合作学习
某小区健身广场中心的边缘是一个五边形（如图），你能求出它的五个内角的和吗？
五边形的内角和为180°×3=540°
小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？
五边形的内角和等于5个三角形内角和之和减去一个周角：
180°×5－360° = 540°
想一 想
六边形能分成多少个三角形？n边形呢？你能确定n边形的内角和吗？
4个
……
多边形边数 从一个顶点引出的对角线条数 分割成的三角形个数 多边形内角和
三角形（n=3）
四边形（n=4）
五边形（n=5）
六边形（n=6）
……
n边形
0
1
180°
1
2
360°
2
3
540°
3
4
720°
n－3
n－2
（n－2）·180°
提炼概念
多边形内角和定理：
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
典例精讲
例1 如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°.
∠B与∠D有怎样的关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D
=（4－2）×180°=360°，
∴ ∠B+∠D
=360°－（ ∠A+∠C ）
=360°－180°=180°.
如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.
想 一 想
正多边形的内角和
正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
①正三角形的内角为 =60°.
正四边形(正方形)的内角为 =90°.
正五边形的内角为 =108°.
正六边形的内角为 =120°.
正八边形的内角为
②正n边形的内角是 .
=135°.
归纳概念
剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流.
议 一 议
（1）如图所示，剪下一个角后，纸片剩下5个角，得到的五边形内角和为（5-2）×180°=180°.
（2）如图所示，剪下一个角后，纸片剩下4个角，
得到的四边形内角和为（4-2）×180°=360°.
（3）如图所示，剪下一个角后，纸片剩下3个角，得到的三角形内角和为180°.
1.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和 ( )
A.增加180° B.增加360°
C.减少360° D.不变
A
课堂练习
课堂练习
2. 如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
B
2、一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？
解：设多边形的边数为n
多边形外角和等于360
∴(n-2) 180 =2×360
解得: n=6
∴这个多边形的边数为6
由n边形内角和= (n-2) 180°
∴ 每个内角等于=720 ÷6=120
2、一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？
3.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形 如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？
解：∵五边形ABCDE的内角和为（5－2）×180°＝540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，
又∵∠A+∠B＝240°，
∴∠A＝240°－∠B，
又∵∠C＝∠D＝∠E＝2∠B，
∴240°－∠B+∠B+2∠B+2∠B+2∠B＝540°，
解得∠B＝50°
4.在五边形ABCDE中，∠A +∠B =240°,∠C =∠D=∠E=2∠B.求∠B的度数.
5.如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
解析：已知图形为不规则的图形，我们可尝试将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解，如果连接BF，则可得到一个五边形，借助五边形的内角和可解决问题.
＝540°.
解：如图所示，连接BF.则∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G
＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E
＝（5－2）×180°
课堂总结
1、多边形的内角和公式,
即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.
2、正n边形的内角是 .
作业布置
教材课后配套作业题。
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