广东省六校2013届高三第二次联考数学（文）试题

2013届高三广东六校第二次联考
（文科）数学试题
参考学校：惠州一中　广州二中　东莞中学　中山纪中　深圳实验　珠海一中
本试题共4页，20小题，满分150分，考试用时120分钟
一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的
1. 函数的定义域为 （ ）
A． B． C． D．
2.复数为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是 （ ）
A． B． C． D．
3.“”是“”的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
4.的值为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5.下图为函数，，在同一直角坐标系下的部分图象，则下列结论正确的是 （ ）
A .
B.
C.
D.

6.若是定义在上的偶函数,则的值为 （ ）
A． B． C． D．无法确定
7.在和之间顺次插入三个数，使成一个等比数列，则这个数之积为 （ ）
A． B． C． D．
8.若函数在区间（是整数，且）上有一个零点，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
9.如右图所示的方格纸中有定点，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
10. 如图，将等比数列的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列，数列的前2013项和则满足的的值为 （ ）
A． B． C． D．


二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
11.已知函数，则
12.已知分别是的三个内角所对的边，若，则
13.已知，，，则与夹角为
14.已知定义在上的函数对任意实数均有，且在区间上有表达式，则函数在区间上的表达式为 _______________
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分12分）
已知函数
（1）求的最大值和最小正周期；
（2）设，，求的值
16. （本小题满分12分）
已知、
（1）若，求的值；
（2）若， 的三个内角对应的三条边分别为、、，且，，，求。
17. （本小题满分14分）
在等比数列中，公比，且满足，是与的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前的和为，求数列的前的和
18. （本小题满分14分）
已知数列，满足，，且（），数列满足
（1）求和的值，
（2）求证：数列 为等差数列，并求出数列的通项公式
（3）设数列的前和为，求证：
19. （本小题满分14分）
已知函数，，其中为实数
（1）若在区间为单调函数，求实数的取值范围
（2）当时，讨论函数在定义域内的单调性
20. （本小题满分14分）
已知三次函数为奇函数，且在点的切线方程为
(1)求函数的表达式.
(2)已知数列的各项都是正数,且对于,都有,求数列的首项和通项公式
(3)在(2)的条件下，若数列满足,求数列的最小值.
2013届高三六校第二次联考（文科）数学试题
参考答案及评分标准
命题： 中山纪念中学 周建刚 审题：中山纪念中学高三文科数学备课组
第Ⅰ卷选择题（满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．（C） 2．（B） 3．（A） 4．（A） 5．（C）
6．（B） 7．（C） 8．（D） 9．(A) 10．（B)
第Ⅱ卷非选择题（满分100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11． 12． 13． 14．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分12分）
解：（1）…………………1分
………………………4分
且的最大值为…………………………5分
最小正周期……………………………………6分
（2）…………………7分
， …………………8分
又，…………………9分
…………………10分
…………………11分
又
…………………12分
16. （本小题满分12分）
解：（1）…………………3分
…………………6分
（2）…………………7分

…………………8分


…………………10分
由余弦定理可知：…………………11分
…………………12分（其它方法酌情给分）
17. （本小题满分14分）
解（1）由题可知：…………………1分
，…………………3分
或（舍去）…………5分
…………………7分
（2），…………………9分
所以数列是以为首项1为公差的等差数列，…………………11分
…………………12分
所以数列是以6为首项，为公差的等差数列，所以…………………14分
18. （本小题满分14分）
解（1）…………………1分
…………………2分
…………………3分
…………………4分
（2）证明：因为，
……………6分
，即数列 以为首项，2为公差的等差数列……………7分
…………………8分
（3）…………………10分
解法一：
因为，…………………12分
所以
…………………14分
解法二：
因为…………………12分
所以
…………………13分
…………………14分
19. （本小题满分14分）
解：（1）的对称轴为，…………………2分
开口向上，所以当时，函数在单调递增，…………………4分
当时函数在单调递减，…………………6分
所以若在区间为单调函数，则实数的取值范围或……………7分
（2）的定义域为……………8分
，……………9分
令，，
所以在的正负情况与在的正负情况一致
①当时，即时，则在恒成立，所以在恒成立，所以函数在上为单调递增函数……………10分
②当时，即时，令方程的两根为，且
……………11分
（i）当时，不等式解集为，解集为，所以的单调增区间为；单调减区间为……………12分
(ii) 当时，不等式解集为，解集为，所以的单调增区间为；单调减区间为……………13分
综上所述：当时，函数在上为单调递增函数
当时，的单调增区间为；
单调减区间为
当时，的单调增区间为；
单调减区间为……………14分
20. （本小题满分14分）
解：(1)为奇函数， ，即
…………2分
，又因为在点的切线方程为
，…………4分
(2)由题意可知：
所以…….. …....①
由①式可得………….5分
当，………②
由①-②可得:
为正数数列…..③…………..6分
………..④
由③-④可得:
,,是以首项为1，公差为1的等差数列,…………..8分
…………9分
（注意：学生可能通过列举然后猜测出，扣2分，即得7分）
(3) ,
令,…………10分
(1)当时,数列的最小值为当时,……….11分
(2)当时
①若时, 数列的最小值为当时,
②若时, 数列的最小值为, 当时或
③若时, 数列的最小值为,当时,
④若时,数列的最小值为,当时
…………14分