6.3.2 二项式系数的性质 同步检测——2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册（word版含答案）

6.3.2 二项式系数的性质（同步检测）
一、选择题
1.已知(1＋2x)n的展开式中所有系数之和等于729，那么这个展开式中x3项的系数是(　　)
A．56 B．160
C．80 D．180
2.(1－x)13的展开式中系数最小的项为(　　)
A．第9项 B．第8项
C．第7项 D．第6项
3.已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于(　　)
A．5 B．3 C．4 D．7
4.已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为(　　)
A．5 B．10
C．20 D．40
5.已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
6.(多选题)若(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　　)
A．a0＝64
B．a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝1
C．a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36，
D．a3是a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6中的最大值
7.若C＝C(n∈N)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于(　　)
A．81 B．27 C．243 D．729
二、填空题
8.在二项式的展开式中，各项系数的和为________，含x的一次项的系数为________．(用数字作答)
9.若n是正整数，则7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C除以9的余数是________
10.已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|的值为________
11.若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项是________
12.如果的展开式中各项系数之和为128，则n的值为________，展开式中的系数为_______
三、解答题
13.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.
14.已知(n∈N*)的展开式中，它的二项式系数和与各项系数和之比是512.
(1)求此展开式中的有理项？(2)求此展开式中系数的绝对值最大的项．
15.已知的展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n；(2)若展开式中常数项为，求m的值；
(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值．
参考答案：
1.B　
解析：由条件知(1＋2)n＝729，∴n＝6，∴展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，
令r＝3得23C＝160.
2.B
解析：展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．
3.C
解析：令x＝1，得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30，得n＝4
4.B
解析：因为的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－r＝Cx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10.
5.A
解析：a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝7×28，所以＝.
6.ABC　
解析：∵(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，
∴令x＝0，有26＝a0＝64，故选项A正确；
令x＝1，有(2－1)6＝1＝a0＋a1＋a2＋…＋a6，故选项B正确；
令x＝－1，有(2＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36，故选项C正确，
又a3＝C·23(－1)3＜a0，故选项D错误．]
7.A　
解析：由C＝C得n＝4，取x＝－1得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.故选A.
二、填空题
8.答案：－1，－10　
解析：在二项式中，取x＝1，可得各项系数的和为－1；
二项式的展开式的通项Tr＋1＝C()5－r·＝(－2)rCx．
由＝1，得r＝1.∴含x的一次项的系数为－2C＝－10.
9.答案：7或0　
解析：7n＋7n－1C＋7n－2C＋…＋7C＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝C9n(－1)0＋C9n－1(－1)1＋…＋C90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.]
10.答案：36
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1， ①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36， ②
①＋②得a0＋a2＋a4＋a6＝，
①－②得a1＋a3＋a5＝.
|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)＝－＝36
11.答案：210　
解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.
12.答案：7，21　
解析：由的展开式中各项系数之和为128，令x＝1得(3－1)n＝128，解得n＝7.
利用Tr＋1＝C·37－r·(－1)r·x，令7－r＝－3，得r＝6，
从而得展开式中的系数为C·37－6·(－1)6＝21.
三、解答题
13.解：(1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128. ①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则 －a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7， ②
由，得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256.
(3)由，得a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128.
14.解：(1)由二项式系数和与各项系数和之比是512，可得2n∶1＝512，解得n＝9，
所以展开式的通项Tr＋1＝C(－)r＝(－1)r29－rCx，
当r－18为整数，r可取0，3，6，9，
则有理项为T1＝512x－18，T4＝－5 376x－11，T7＝672x－4，T10＝－x3.
(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，则，解得≤r≤，于是r只能为3.
所以展开式中系数的绝对值最大的项为T4＝－5 376x－11.
15.解：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.
(2)设常数项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx8－r＝Cmrx8－2r，
令8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，解得m＝±.
(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．则
化简可得 ≤r≤.
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以即 所以m只能等于2