2021-2022学年北师大版八年级数学下册 1.1.3等腰三角形课件 (共22张PPT)

(共22张PPT)
北师大版数学八年级（下）
课题：等腰三角形（3）
学习目标
1.掌握利用等腰三角形的性质对三角形进行判定的方法。
2.理解反证法的意义，掌握反证法的书写步骤，运用反证法进行证明。
复习引入
问题1：等腰三角形有怎样的性质？
角：等腰三角形的两底角相等．（定理）
(简写成 ‘‘等边对等角”)
三线： 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合(简写成 ‘‘三线合一”)(推论)
问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？
边：等腰三角形的两腰相等．（定义）
对称性：等腰三角形是轴对称图形
释疑解惑
问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？
边：
等腰三角形 两腰相等
性质
两边相等 等腰三角形
？
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形
判定
（定义判定法）
角：
等腰三角形 两底角相等
性质
两角相等 等腰三角形
？
等边对等角
释疑解惑
问题2：如何判定一个三角形是等腰三角形？
已知：△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC
证明一：作∠BAC的平分线AD，
∴ ∠1=∠2
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD
∴ △BAD≌ △CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
A
B
C
D
1
2
释疑解惑
过A作AD⊥BC，垂足为D.
在△ABD与△ACD中，
∠ADB=∠ADC=90°，
∠B=∠C，
AD=AD，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∴AB=AC.
C
A
B
D
┐
证法二：
证法三：
取BC中点，连接AD，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
在△BDE与△CDF中，
∠BED=∠CFD=90°，
∠B=∠C，
BD=CD，
∴ △BDE ≌ △CDF（AAS）.
∴BE=CF，DE=DF
∴AE=AF.
∴AE+BE=AF+CF.
∴AB=AC.
∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD
E
F
┐
C
A
B
D
┐
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(等角对等边)
等腰三角形的判定定理：
符号语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC.
等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
即：
典例赏析
例1：已知：如图，AB=DC,BD=CA,
求证：△AED是等腰三角形。
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS)
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）
∴AE=DE(等角对等边）
∴ △AED是等腰三角形。
例2：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，
∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠EAC，
∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形．
探究二
已知：如图，在△ABC中，∠B≠∠C，
求证：AB≠AC．
证明：假设AB=AC，
根据“等边对等角”定理，
∴ ∠C=∠B，
而已知条件∠B≠∠C．
∴“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，
因此AB≠AC.
总结归纳
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤
1.假设: 先假设命题的结论不成立;
2.归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与
定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3.结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题
的结论正确.
例3 用反证法证明：三角形中必有一个内角大于等于60度.
证明：假设∠A,∠B,∠C没有一个内角大于等于60°， 即每个内角都小于60°，则
∠A+∠B+∠C＜60°+60°+60°＜180°
这与“三角形内角和定理” 矛盾
∴假设 不成立．
∴一个三角形中必有一个内角大于等于60度
典例赏析
例4. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
(1)图中的△ABC和△BOC是等腰三角形吗？说一说你的理由。
是等腰三角形，理由：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
∵BO、CO平分∠ABC、∠ACB,
∠ABC=∠ACB
∴∠ABO=∠OBC=∠ACO=∠OCB
能力拓展
例4. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
(2)过O点作平行于BC的直线，分别与AB、AC交于E、F两点，图中有____个等腰三角形，线段EF与线段BE、FC之间的数量关系为_________.
5
EF=BE+CF
∵BO、CO平分∠ABC、∠ACB,
∠ABC=∠ACB
∴∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB
∵EF∥BC
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO
∴BE=EO,FO=FC
∴EF=EO+FO=BE+CF
△ABC、△AEF、△BEO、△CFO、△BOC.
例4. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
(3)若∠ABC与∠ACB不相等，其余条件不变，第（2）问的结论还成立吗？为什么。
证明：EF=BE+CF成立.理由如下：
∵BO、CO平分∠ABC、∠ACB,
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB
∵EF∥BC
∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCB
∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO
∴BE=EO,FO=FC（等角对等边）
∴EF=EO+FO=BE+CF
1 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
随堂检测
2、如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数.
（2）求证：DC＝CF.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，连接AD，过点F作FG⊥BC于点G，并交AB于点E，
求证：(1)AD∥FG； (2)△AEF是等腰三角形．
证明：（1）∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC（三线合一）
∵FG⊥BC
∴AD∥FG（垂直于同一直线的两条直线平行）
（2）由（1）可知∠CAD=∠BAD
∵AD∥FG
∴∠CAD=∠F ∠BAD=∠FEA
∴∠F=∠FEA
∴AE=AF（等角对等边）
∴△AEF是等腰三角形。
1 等腰三角形的判定：
（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形.
2 利用反证法解题的一般步骤：
(1) 假设；
(2) 归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定理、公理等相矛盾的结果；
(3) 结论：肯定命题结论正确.
课堂小结
感谢聆听！