2021-2022学年北师大版八年级数学下册 1.1.4等腰三角形课件 (共26张PPT)

(共26张PPT)
北师大版数学八年级（下）
课题：等腰三角形（4）
学 习 目 标
1 掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用.
2 掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理，并能运用定理解决问题.
3 进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明的能力.
情景导入
等边三角形有哪些性质？
等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
课堂活动
等边三角形的判定
知识点一
A
B
C
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
如何判断它是等边三角形呢？
等边三角形的性质：三个内角都相等，每个角都是60°.
三个角都相等
等边三角形的判定： 的三角形是等边三角形.
猜想
？
求证：三个角都相等的三角形是等边三角形.
B
C
A
已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：△ABC为等边三角形.
证明：∵∠A＝∠B
∴AC＝BC
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC
∴AB＝AC＝BC
∴△ABC为等边三角形.
判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°
等边三角形的判定： 的等腰三角形是等边三角形.
猜想
2.判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形。
？
已知：如图 ,在△ABC中，AB =AC , ．
求证：△ABC是等边三角形．
求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
B
C
A
∠A= 60°
60°
分类讨论，一个角是顶角还是底角
有一个角为 60°
证明：
①当∠A＝60°时
②当∠B＝60°时.
已知：如图 ,在△ABC中，AB =AC , ．
求证：△ABC是等边三角形．
B
C
A
∵AB=AC
∴∠B＝∠C
∵在△ABC中，∠A= 60 °
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A) = 60°
∴∠A= ∠ B =∠C.
∴△ABC是等边三角形
60°
有一个角为 60°
60°
60°
证明：①当∠A＝60°时
求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
②当∠B＝60°时.
已知：如图 ,在△ABC中，AB =AC , ．
求证：△ABC是等边三角形．
总结：涉及到等腰三角形，不论是边还是角，大家要有分类讨论的意识
有一个角为 60°
判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
∵AB=AC , ∠B=60°
∴∠C=∠B=60°
∴∠A=180°-∠C-∠B=60°
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形
B
C
A
60°
60°
60°
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：
∵在△ABC 中， ∠A=∠B =∠C =60°，
∴△ABC 是等边三角形．
判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
符号语言：
∵在△ABC 中，BC =AC，∠A =60°，
∴△ABC 是等边三角形．
定义法：三边相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定方法
C
A
B
例1 已知：如图，△ABC 是等边三角形，与 BC 平行的直线分别交 AB 和 AC 于点 D，E.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
B
C
D
E
典例分析
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE =∠B = 60°，
∠AED = ∠C = 60°，
∴∠ADE =∠AED =∠A= 60°，
∴△ADE是等边三角形.
含30°角的直角三角形的性质
知识点二
做一做
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
定理: 在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于
斜边的一半.
已知:在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°，求证:BC= AB.
A
30°
B
C
30°
30°
A
B
D
300
A
B
C
D
∵ ∠ACB=900，∴∠ACD=900
在△ABC与△ADC中
BC=DC（作图）
　 ∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
　∴ AD=AB
∵∠ACB=900,∠A=300∴∠B=600
∴△ABD是等边三角形
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD= AB
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
D
B
C
A
证明：在△ACB 内部∠ACD=∠A=30°,交 AB于D
∴AD=CD ∠DCB=∠B=60°
∴△ADC是等腰三角形
（有两个角相等的三角形是等腰三角形）
又∵ ∠B=60°
∴△BCD是等边三角形
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴CD=BD=BC
∴BC=AD=BD
A
B
C
几何语言：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°
∴ BC = AB
30°
2
4
？
5
10
？
？
定理: 在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于
斜边的一半.
典例分析
例2:求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.CD 是腰 AB 上的高. 求证：CD = AB.
1
2
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）.
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°.
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°.
∴CD = AC
∴CD= AB.
1
2
1
2
例3： 已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求证 : BD = AB
D
A
C
B
30°
证明：
∵在△ABC中
∠ACB=90°，∠A=30°
∴BC= AB ,∠B=60°
∵CD⊥AB
∴∠CDB=90°,∠BCD=30°
∴BD= BC
∴BD= AB
30°
随堂测验
1 如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
2.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，则BC 的长为 .
3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
A
B
C
300
5
A
C
B
D
1
4.如图,在△ABC中,∠B=60°,D是BC延长线上一点,过D作DE⊥AB于E，交AC于F，若CD=CF。
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵DE⊥AB
∴∠BED=∠AEF=90°
∴∠B+∠D=90°，∠A+∠AFE=90°
∵CD=CF
∴∠D=∠DFC
∵∠DFC=∠AFE
∴∠D=∠AFE
∴∠A=∠B
∴AC=BC（等角对等边）
∵∠B=60°
∴△ABC是等边三角形
能力提升
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AD平∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6cm,DE=2cm,求BC的长.
解：延长AD、ED分别交BC与M、N
M
N
∵∠EBC=∠E=60° ，∠EBC+∠E+∠BNE=180°
∴∠BNE=∠EBC=∠E=60°
∴△BEN是等边三角形
∴BE=BN=EN=6cm。
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BM=CM，AM⊥BC
∴∠DMN=90°，
∴∠MDN=30°，
∴MN= DN= （EN-DE）= （6-2）=2
∴BM=CM=BN-MN=6-2=4
∴BC=BM+CM=4+4=8
6如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一动点(不与点B，C重合)，∠DAE＝60°，过点B作BE∥AC交AE于点E.
(1)求证：△ADE是等边三角形；
(2)当点D在何处时，AE⊥BE？指出点D的位置，并说明理由．
能力提升
等边三角形的判定方法：
定理 ：三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 ：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半．
课堂小结
感谢聆听！