2021－2022学年九年级数学中考总复习(人教版)
第二十四章 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
知识点 垂直于弦的直径
1.点P是 内一点，过点P的最长弦的长为 ，最短弦的长为 ，则OP的长为（ ）
A. B. C. D.
2.已知，如图，线段 是 的直径，弦 于点E.若 ， ，则 的长度为（ ）
A. B. C. D. 5
3.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽 ，则水的最大深度为（ ）
A. 8cm B. 10cm C. 14cm D. 16cm
4.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于E，则下列结论不一定成立的是( )
A. ∠COE＝∠DOE B. CE＝DE C. OE＝BE D. 弧BC=弧BD
5.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD的长为（ ）
A. B. C. D.
强 化 提 升
6.学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” .下列判断正确的是（ ）
A. 两人说的都对
B. 小铭说的对，小燕说的反例不存在
C. 两人说的都不对
D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在
7.如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD⊥AC交AC于E点．若DE＝1，BC＝6，则AC＝（ ）
A. 3 B. C. 5 D.
8.如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D ， 液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（ ）
A. 6cm B. 5.5cm C. 5cm D. 4cm
9.AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（ ）
A. 1或7 B. 7 C. 1 D. 3或4
10.已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（ ）
A. 36cm或64cm B. 60cm或80cm C. 80cm D. 60cm
11.如图，在 中， 是直径， 是弦， 于点M，若 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
12.如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
13.⊙ 的半径为5cm，AB、CD是⊙ 的两条弦， ， ， ．则 和 之间的距离为 ．
14.一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为 米．
15.如图，已知⊙O半径为5，弦AB长为8，点P为弦AB上一动点，连结OP，则线段OP的最小长度是________.
16.如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过 ， ， 三点，则该圆的圆心的坐标是 .
17.如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的长.
18.如图，AB是⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，并且AC＝BD ， 求证：OC＝OD ．
19.往直径为 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽 ，求油的最大深度．
20.如图1，点 表示我国古代水车的一个盛水筒.如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心 为圆心， 为半径的圆.若 被水面截得的弦 长为 ，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度.参 考 答 案
1.【答案】 B
【解析】解：如图所示，CD⊥AB于点P.
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm.
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP= CD=3cm.
根据勾股定理，得OP= =4cm.
故答案为：B.
2.【答案】 B
【解析】解：连接OD，如图所示：
设⊙O的半径为R，
∵弦CD⊥AB于点E.CD=6，
∴DE=CE= CD=3，∠OED=90°，
∴在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2 ， 即32+（R-2）2=R2 ，
解得：R= ，即OB的长为 ，
故答案为：B.
3.【答案】 D
【解析】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=48cm，
∴BD= AB= ×48=24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中， （cm），
∴CD=OC-OD=26-10=16（cm），
故答案为：D.
4.【答案】 C
【解析】∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE＝DE，B正确；∠COE＝∠DOE，A正确；因为A正确，所以 ，D正确；故答案为：C.
5.【答案】 C
【解析】解：连接OC，
∵AB=12
∴OB=
又BP=2
∴OP=OB-PB=6-2=4
在Rt△OPC中， ，
∵OB过圆心，OB⊥CD
∴CD=2PC=2×
故答案为：C.
6.【答案】 D
【解析】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故答案为：D.
7.【答案】D
【解析】∵OD⊥AC ， OD为圆O的半径，
∴E是AC的中点，
∵O是AB的中点，
∴OE是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
故答案为：D．
8.【答案】 C
【解析】解：连接 ，
，
，
∵AB＝8cm，
，
设圆的半径为 ，
在 中， ，
根据勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
故答案为：C．
9.【答案】 A
【解析】解：①当AB、CD在圆心两侧时；
过O作OE⊥CD交CD于E点，过O作OF⊥AB交AB于F点，连接OA、OC，如图所示：
∵半径r＝5，弦AB∥CD，且AB＝6，CD＝8，
∴OA＝OC＝5，CE＝DE＝4，AF＝FB＝3，E、F、O在一条直线上，
∴EF为AB、CD之间的距离
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE2＝OC2﹣CE2
∴OE 3，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF2＝OA2﹣AF2
∴OF 4，
∴EF＝OE+OF＝3+4＝7，
AB与CD的距离为7；
②当AB、CD在圆心同侧时；
同①可得：OE＝3，OF＝4；
则AB与CD的距离为：OF﹣OE＝1；
综上所述：AB与CD间的距离为1或7.
故答案为：C.
10.【答案】 B
【解析】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝100cm，AB⊥CD，AB＝96cm，
∴AM＝ AB＝ ×96＝48（cm），OD＝OC＝50（cm），
如图1，∵OA＝50cm，AM＝48cm，CD⊥AB，
∴OM＝ ＝ ＝14（cm），
∴CM＝OC+OM＝50+14＝64（cm），
∴AC＝ ＝ ＝80（cm）；
如图2，同理可得，OM＝14cm，
∵OC＝50cm，
∴MC＝ ＝36（cm），
在Rt△AMC中，AC＝ ＝60（cm）；
综上所述，AC的长为80cm或60cm，
故答案为：B.
11.【答案】 B
【解析】解：连接AO，
∵ 是直径， 是弦， 于点M，
∴ ，
在 中， ， ， ，
根据勾股定理可得 ，
∴ ，
故答案为：B.
12.【答案】 C
【解析】解：∵AB=10，
∵OB=OA=OC=5，
过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，
∵OB⊥CD，
∴∠CEO=90°，
由勾股定理得：CE= = =3，
∵OE⊥CD，OE过O，
∴CD=2CE=6，
∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，
∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，
答案为：C．
13.【答案】 1cm或7cm
【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝3cm，OF＝4cm，
∴EF＝4 3＝1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，
∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，
∴EO＝3cm，OF＝4cm，
∴EF＝OF＋OE＝7cm．
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故填1cm或7cm．
14.【答案】 0.8或0.2.
【解析】如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，
根据题意，得 AO=0.5，AE=0.4，
根据勾股定理，得OE= = =0.3，
∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）
或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），
∴水深为0.2米或0.8米.
故答案为：0.2米或0.8.
15.【答案】 3
【解析】解：根据垂线段最短知，当OP⊥AB时，OP的长度最小，
此时由垂径定理知，点P是AB的中点，BP＝ AB＝4，
连接OB， OP＝ ，
故答案为：3.
16.【答案】
【解析】解：根据题意得，圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心 ，过点A作 垂足为C，
，由勾股定理得
解得
故答案为： .
17.【答案】 解：连接OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵EB＝9，AE＝1，
∴AB＝10，OC＝OA＝5，
∴OE＝4，
在Rt△OCE中，CE＝ ，
∴CD＝2CE＝6.
【解析】根据垂径定理得到CE=ED，连接OC，再根据已知条件得到OE和OC的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长.
18.【答案】 证明：过O作OE⊥AB于E，则AE=BE．
∵AC=BD，∴CE=DE．
∴OE是CD的中垂线，∴OC=OD．
【解析】过O作OE⊥AB于E，则AE=BE，再结合题意证出OE是CD的中垂线，利用中垂线的性质求解即可。
19.【答案】 解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．
∵OC⊥AB于点D
∴BD＝ AB＝ ×60＝30cm，
∵⊙O的直径为68cm
∴OB=OC＝34cm
∵在Rt△ODB中，OD= （cm），
∴DC＝OC﹣OD＝34﹣16＝18（cm）；
答：油的最大深度为18cm．
【解析】连接OB ， 过点O作OC⊥AB于点D ， 交⊙O于点C ， 先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
20.【答案】 解：如图：过 点作半径 于
在 中，
水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为
【解析】先过 点作半径 于 ，由垂径定理得到AE=4，再由勾股定理得到OE=3，由ED=OD-OE求出ED即可.
