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第7章 一元一次不等式与不等式组
7.1 不等式及其基本性质
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解不等式的概念,会用不等式表示数量间的不等关系,掌握不等式的三个基本性质.
【过程与方法】
经历探究不等式基本性质的过程,体会不等式与等式的异同.
【情感、态度与价值观】
积极参与课堂讨论,不断体会到“生活中处处有数学”,并能自觉地应用数学知识解决实际问题.
◇教学重难点◇
【教学重点】
理解不等式的基本性质.
【教学难点】
对不等式的基本性质3的认识.
◇教学过程◇
一、情境导入
两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏.现在换了一个小胖子上去,跷跷板发生了倾斜,游戏无法进行下去了.同学们知道是怎么回事吗
二、合作探究
探究点1 数量间的不等关系
典例1 用不等式表示下列语句所叙述的数量关系:
(1)x的与x的2倍的和是非正数;
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米;
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不是268元;
(4)m与n的和小于100.
[解析] (1)x+2x≤0.
(2)设炮弹的杀伤半径为r米,则r≥300.
(3)设每件上衣售价为a元,每条长裤售价为b元,则3a+4b≠268.
(4)m+n<100.
变式训练 下列不等关系中,正确的是 ( )
A.a不是负数,表示为a>0
B.x与1的和是非负数,表示为x+1>0
C.x不大于5,表示为x>5
D.m与4的差是负数,表示为m-4<0
[答案] D
探究点2 不等式的基本性质
典例2 方园同学对以下不等式进行变形:
①由x+7>8得x>1;②由3x-1>x+7得x>4;
③由-3
-3;④由x<2x+3得x>3;
⑤由-3x>-6得x<-2.
你认为变形正确的有 .(填写序号)
[解析] 在x+7>8两边同时减去7,得x>1,①正确;先在3x-1>x+7两边同时加上1-x,得2x>8,再在2x>8两边同时除以2,得x>4,②正确;根据不等式的对称性,由-3-3,③正确;在x<2x+3两边同时减去2x,得-x<3,再在-x<3两边同时乘-1,得x>-3,④错误;在-3x>-6两边同时除以-3,得x<2,⑤错误.
[答案] ①②③
变式训练 判断正误(在题后括号内对的打“√”,错的打“×”):
(1)若b-3a<0,则b<3a. ( )
(2)如果-5x>20,那么x>-4. ( )
(3)若a>b,则ac2>bc2. ( )
(4)若a>b,则a(c2+1)>b(c2+1). ( )
(5)若a>b>0,则. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
三、板书设计
不等式及其基本性质
定义 用不等号(>,<,≥,≤或≠) 表示不等关系的式子叫做不等式
性质1 若a>b,则a+c>b+c,a-c>b-c
性质2 若a>b,c>0,则ac>bc,
性质3 若a>b,c<0,则ac性质4 若a>b,则b性质5 若a>b,b>c,则a>c
◇教学反思◇
本节课通过实际情境引入不等关系,让学生初步了解到不等式是现实世界中不等关系的数学表示形式,也是刻画数量之间关系的有效模型.
教学过程也是学生的认知过程,本节课采用启发诱导、实例探究、讲练结合的教学方法,揭示了知识的发生和形成过程.
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第七章
一元一次不等式与不等式组
7.1 不等式及其基本性质
一、谈谈你的想法？
二、能用语言描述交通标志中数学符号所表示的意义吗？
汽车的速度不超过每小时40千米
汽车的重量不超过10吨
汽车的宽度小于3米
汽车的高度低于4.5米
用正数v，m，a，h分别表示速度、重量、宽度和高度。
v≤40千米/小时
m≤20吨
a＜3米
h＜4.5米
想一想：什么是不等式？
定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
＞，≥，＜，≤，≠
≥的含义：大于或等于（不小于）。
≤的含义：小于或等于（不大于）。
三、选一选：
例1：下列式子：
1）-2＞0； 2）3x-5＞0； 3）x=1；
4）x -x ； 5）x≠-2；
6）x+2＞x-1，
其中是不等式的有________________。
1、2、5、6
好消息
1、一次性消费金额不低于60元的顾客可以凭收银条参加抽奖活动。
a≥60元
乘客须知
2、在大人的带领下，不超过1.2米的儿童乘车可以免买车票。
a≤1.2米
网吧通告
3、未满18周岁的青少年禁止入内！
a≤18岁
调查研究
4、全班有多少同学骑电瓶车上学呢？至少达到多大年龄才可以骑呢？
a≥16岁
四、试一试：用不等式表示
（1）a与b的和小于0；
（2）x的5倍与1的差小于x的3倍；
（3）x与y的积是正数；
（4）m与n的和的平方是非负数；
（5）a的相反数不大于2.
a+b<0
5x-1<3x
xy>0
（m+n） ≥0
-a≤2
一次知识竞赛中，一共有25道题，答对一题得10分，答错或不答一题扣5分。设小明同学在这次竞赛中答对了x道题。
1）根据所给条件，完成下表：
答题情况 答对 答错或不答
题数 x
每题分值 10 -5
得分 10x
2)若小明同学的竞赛成绩超过100分，则他至少答对了几道题？（只列不等式）
25-x
-5(25-x)
解： 10x-5(25-x)＞100
五、练习：
思考：等式具有哪些性质？类比等式性质，不等式也有类似的性质吗？
1. 用不等号填空：
（1）5 3 ；
5+2 3+2 ；
5-2 3-2 .
（2）2 4 ；
2+1 4+1 ；
2-3 4-3 .
>
>
>
<
<
<
我们已经学过等式的基本性质，那么不等式具有哪些性质呢？
2. 水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和
84kg苹果. 在卖出a kg梨和a kg苹果后，又分别
各购进了b kg的梨和苹果.
100 -a 84 -a
>
请用“>”或“<”填空：
100 –a+b 84 –a+b
>
3. 自己任意写一个不等式，在它的两边同时加上或减去同一个数，看看不等关系有没有变化.
与同桌互相交流，你们发现了什么规律？
15+1 30+1，15-1 30-1
<
<
不等式两边同加或减，不等式关系不变.
不等式基本性质1
不等式的两边都加上（或减去）同一个数(或式），不等号的方向不变.
即，如果a>b，那么 a + c > b + c,且 a-c>b-c.
一般地，不等式具有如下性质：
因为 a>b，两边都加上3，
因为 a解
由不等式基本性质1，得
a+3 > b+3；
根据不等式基本性质1
由不等式基本性质1，得
a-5 < b-5 .
根据不等式基本性质1
（1）已知 a>b，则a+3 b+3
（2）已知 a>
<
例1 用“>”或“<”填空：
（1）已知 a>b，则a+3 b+3；
（2）已知 a（1） x + 6 > 5，
解
不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1，得
x +6-6 > 5-6；
根据不等式基本性质1
即： x > -1
（2） 3x < 2x -2，
不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1， 得
3x -2x < 2x-2-2x；
根据不等式基本性质1
即： x < -2
例2 把下列不等式化为x >a或x< a的形式：
（1）x + 6 > 5 ；
（2） 3x < 2x -2 .
由（2）可以看出，运用不等式基本性质1 对 3x < 2x-2 进行化简的过程，就是对不等式
3x< 2x-2 作了如下变形：
（2） 3x < 2x -2 .
3x < 2x - 2
3x
<
2x
-
2
-
从变形前后的两个不等式可以看出，这种变形就是把不等式一边的某一项变号后移到另一边，我们把这种变形称为移项.
根据不等式基本性质1，我们可以把不等式AB + BC > AC 中的BC 移到右边，于是得到
AB > AC-BC，即AC-BC < AB.
同理，AB-AC< BC，BC-AB< AC.
由此可得，三角形任意两边之差小于第三边.
动脑筋
我们知道三角形任意两边之和大于第三边，即如图所示，在△ABC中，有
AB + BC > AC，
BC + AC > AB，
AC + A B > BC .
那么，三角形中两边之差与第三边又有怎样的关系呢？
练习
1. 已知a < b，用“>”或“<”填空：
（1）a +12 b +12 ；
（2）b -10 a -10 .
<
>
2. 把下列不等式化为x>a或x（1）1+x＞3；
（2）2x＜x+6.
答：x > 2
答：x < 6
探究
1. 用不等号填空：
（1）6 4；
6×2 4×2；
6÷(-2) 4÷(-2) .
（2）-2 -4；
-2×2 -4×2；
-2÷(-2) (-4)÷(-2).
>
>
<
>
>
<
2.（1）已知苹果的价格是a元/kg，梨的价格是b元/kg，且a > b. 小李各买了3kg苹果 和梨，则买哪种水果花钱较多？
用不等号填空： 3a 3b.
>
（2）在某次知识抢答赛中，甲、乙两队的总得分分别为a，b，其中a>b. 已知每队人员均为3名，则哪队的平均得分高？
用不等号填空：
a÷3 b÷3.
>
3. 自己写一个不等式，分别在它的两边都乘（或 除以）同一个正数或负数，看看有怎样的结 果.
5×(-3) 8×(-3)
>
与同桌互相交流，你们发现了什么规律？
不等式基本性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a>b,c>0，那么 ac > bc, > .
一般地，不等式还有如下性质：
不等式基本性质3
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即，如果a>b，c <0，那么 ac < bc, < .
不等式的基本性质
不等式的对称性
不等式的传递性
不等式的基本性质4(对称性)
如果a＞b，那么b＜a.
如：x＜3，可得x＜3
不等式的基本性质5（传递性）
如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
如：∵∠A＞∠B， ∠B＞30°，
∴∠A＞30°
例3 用“>”或“<”填空：
（1）已知 a>b，则3a 3b ；
（2）已知 a>b，则-a -b .
（3）已知 a因为 a>b，两边都乘3，
因为 a>b，两边都乘-1，
解
由不等式基本性质2，得
3a > 3b
判断用不等式基本性质2
由不等式基本性质3，得
-a < -b
判断用不等式基本性质3
（1）已知 a>b，则3a 3b ；
（2）已知 a>b，则-a -b .
>
<
因为 a由不等式基本性质3，得
由不等式基本性质1，得
（3）已知 a>
因为 ，两边都加上2，
下面是某同学根据不等式的性质做的一道题：
在不等式 -4x+5>9的两边都减去5，得
-4x > 4
在不等式-4x> 4的两边都除以 -4，得
x > -1
请问他做对了吗？如果不对，请改正.
x < -1
不对
不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？
练习
1. 已知a > b，用“>”或“<”填空：
（1）2a 2b ；
（2）-3a -3b ；
>
<
<
（3） .
2. 用“>”或“<” 填空：
（1）如果1-x>3，那么-x 3-1，
即x -2 ；
>
<
（2）如果 x+2<3x+8，那么 x-3x 8-2，
即 -2x 6，即 x -3.
<
<
>
性质1：如果a ＞b，那么a±c＞b±c
不等式的概念
课堂小结
不等式的基本性质
性质4：如果a>b，那么b性质5：如果a>b，b>c,那么a>c.
不等式
性质2：如果a ＞b，c > 0 ,那么
ac>bc(或 )
性质3：如果a>b，c<0 那么
ac