江苏省苏南四校2012-2013学年高二上学期期中联考数学试卷

2012～2013学年第一学期期中考试四校联考
高　二　年级　数学　试卷
命题学校：张家港高级中学 命题：施曙光，审核：章玉龙
【注意】
1．本试卷满分160分，答题时间为120分钟。
2．答案写在答题卷上。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．两个平面最多可以将空间分成 部分.
2．直线的倾斜角是 .
3．已知 .
4．两平行直线的距离是 .
5．已/知圆关于直线成轴对称，则= ..
6．关于直线与平面，有以下四个命题：
①若且，则；②若且，则；
③若且，则；④若且，则；
其中正确命题的序号是 .
7．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则其体积为 .
8．过点P(2,3)且在两轴上的截距相等的直线方程是_________________.
9．圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 .
10．圆心在轴上，且与直线相切于点的圆的方程为________ ___________．
11．点P在平面ABC上的射影为O，且PA、PB、PC两两垂直，那么O是△ABC的 ．（填：外心，内心，重心，垂心）
12．若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是 .
13．已知直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的值为 ．
14．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则该直线的斜率的范围是_______________________．
二、解答题：本大题共6小题，共计14+14+15+15+16+16=90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答卷纸相应位置上．
15（本小题满分14分）
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上.
（1）分别求AD边，CD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程.
16．（本小题满分15分）
如图，在六面体中，，，.
求证：（1）；（2）.
17．（本小题满分15分）
在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABDC是菱形．
(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求该多面体的体积.

18．（本小题满分15分）
过圆x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．
（1）求过点P的圆的切线方程；
（2）若切点为P1、P2, ，求直线P1P2的方程；
（3）求P1、P2两点间的距离．
19．（本小题满分16分）
设圆，动圆.
（1）求证：圆、圆相交于两个定点；
（2）设点P是圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由.
20．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．
（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．
①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；
②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的
坐标；若不经过，请说明理由．

2012～2013学年第一学期期中考试四校联考
高　二　年级　数学 答题卷
注意事项
答题前请您务必将自己的姓名、考号填在指定位置.答题时请用黑色0.5毫米签字笔写在答题卷的指定位置.在其它位置作答一律无效.如要作图，须用2B铅笔，并加黑加粗.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将正确答案填写在相应位置。
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14.
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14）
解：
16.（本小题满分14）
解：
17.（本小题满分15分）
解：
18.（本小题满分15分）
解：
19.（本小题满分16分）
解：
20.（本小题满分16分）
解：
2012～2013学年第一学期高二年级期中考试四校联考
数学试卷I
（满分160分，考试时间120分钟）命题：施曙光，审核：章玉龙
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．两个平面最多可以将空间分成 部分. 4
2．直线的倾斜角是 .600
3．已知 9或1
4．两平行直线的距离是 。
5．已/知圆关于直线成轴对称，则= . 4
6．关于直线与平面，有以下四个命题：
①若且，则；②若且，则；
③若且，则；④若且，则；
其中正确命题的序号是 ②③
7．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则其体积为 .
答案： 9/4
8．过点P(2,3)且在两轴上的截距相等的直线方程是__________________.

9．圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 ..
10．圆心在轴上，且与直线相切于点的圆的方程为________ ___________．
11．点P在平面ABC上的射影为O，且PA、PB、PC两两垂直，那么O是△ABC的 心垂心；
12．若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是 .
(-2，2]{-}
13．已知直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的值为 ．1/8
14．若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则该直线的斜率的范围是_______________________．
答案：
二、解答题：（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.）
15（本小题满分14分）
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上．
（1）求AD边，CD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程.
解：(1) 因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为-3．……………………………………2分
又因为点T(-1，1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),
即3x+y+2=0．…………………………………………………………4分
由解得点A的坐标为(0，-2). …………6分
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为M(2，0),所以C(4,2) …………8分
所以CD边所在直线的方程为x-3y+2=0, …………10分
(2) M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又|AM|=,………………………………12分
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.…………………… 14分
16．（本小题满分14分）
如图，在六面体中，，，
.求证：（1）；（2）.
证明：（1）取线段的中点，连结、，
因为，，
所以，．…………3分
又，平面，
所以平面．
而平面，
所以.……………………………7分
（2）因为，
平面，平面，
所以平面．…………………………………………………10分
又平面，平面平面，……11分
所以．同理得，
所以．…………………………………………………14分
17．（本小题满分15分）
在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABDC是菱形.
(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1
（2）求该多面体的体积．


（1）证:由正三棱柱,得,而四边形是菱形,所以,
又平面且,所以平面…5分
则由平面,得平面平面…………………… 7分
(2)因为正三棱柱的体积为………10分
四棱锥的体积为……………13分
所以该多面体的体积为……………………………………………15分
18．（本小题满分15分）
过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．
（1）求过点P的圆的切线方程．
（2）若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程．
（3）求P1、P2两点间的距离．
解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y－2＝k(x－4)
即kx－y+2－4k＝0 ①
则d＝
∴＝ 解得k＝1或k＝…………3分
∴切线方程为：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0………………………………………5分
(2) 设切点Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1: x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２
因为点(4，2)在l1和l2上．则有4 x1＋2y1＝2 4x2＋2y2＝2
这表明两点都在直线4x＋2y＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2 x＋y－1＝0即为所求……………………………………10分
（3）……………………15分
19．（本小题满分16分）
设圆，动圆，
（1）求证：圆、圆相交于两个定点；
（2）设点P是圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由.
19.解（1）将方程化为，
令得或，所以圆过定点和，……………4分
将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；……………6分
（2）设，则，…………………………8分， …………………………………10分
即，整理得（*）………………………………………………12分
存在无穷多个圆，满足的条件为（1）有解，
…………………14分
而（1）无解，故不存在点P，使无穷多个圆，满足.………………16分
20(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆： ．
（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．
①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；
②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的
坐标；若不经过，请说明理由．
解：（1）设直线的方程为，即．
因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，
所以圆心到：的距离为．…………………………3分
化简，得，解得或．
所以直线的方程为或．…………………6分
（2）①证明：设圆心，由题意，得，
即．
化简得，
即动圆圆心C在定直线上运动．…………………………10分
②圆过定点，设，
则动圆C的半径为．
于是动圆C的方程为．
整理，得．…………………………14分
由得或
所以定点的坐标为，．………16分