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6.4.2 多边形内角和与外角和(二) 学案
课题 6.4.2 多边形内角和与外角和(二) 单元 第6单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1 了解多边形的外角定义,并能准确找出多边形的外角;2 掌握多边形的外角和公式,能利用内角和与 外角和公式解决实际问题.
重点 多边形外角和定理的探索和应用．
难点 灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
教学过程
导入新课 【引入思考】1 1、多边形的内角和公式是什么 2、正n边形的内角怎么计算？活动探究一：小组活动，回答下列问题。（1）小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在下图中，你能求出1+2+3+4+5的结果吗？你是怎样得到的？ 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.定理多边形的外角和等于多少度？
新知讲解 提炼概念 定理多边形的外角和等于360°典例精讲 .co 例2：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
课堂练习 巩固训练 1.下列命题是假命题的是（ ）A.三角形的内角和是180°．B.多边形的外角和都等于360°．C.五边形的内角和是900°．D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．2.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为何？ A. B. C. D. 3. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第一次回到出发地A点时，他一共走了________．4.已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。5.有一个正多边形，它的一个外角等于相邻内角的0.2倍，这个多边形是几边形？ 答案引入思考 ∵∠1+∠EAB=1800 ∠2+∠ABC=1800 ∠3+∠BCD=1800 ∠4+∠CDE=1800 ∠5+∠DEA=1800∴ ∠1+∠EAB+ ∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+ ∠4+∠CDE+ ∠5+∠DEA=9000∵五边形的内角和为（5-2）×1800=5400∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．这样，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°【想一想】如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.提炼概念典例精讲 例2 解：设这个多边形是n边形，则它的内角和为（n-2）﹒180°，外角和为360°。则根据题意， 得（n-2）﹒180°=3×360° 解得n=8 所以这个多边形是八边形。 巩固训练1.C2.A3.1204.解： 设多边形的边数为n ∵它的内角和等于 (n-2) 180°， 多边形外角和等于360 ， ∴ (n-2) 180°=2× 360 。 解得: n=6 ∴这个多边形的边数为65.解：设这个正多边形的每个内角为x°， 则每个外角为0.2x°， 得x°＋0.2x°＝180°， 解得x°＝150°， 则0.2x°＝0.2×150°＝30°. 这个正多边形的边数为：360°÷30°＝12. 因此，这个多边形是十二边形.
课堂小结 1.多边形的外角及外角和的定义 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.2.多边形的外角和等于360°
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6.4.2 多边形内角和与外角和(二) 教案
课题 6.4.2 多边形内角和与外角和(二) 单元 第6单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1 了解多边形的外角定义,并能准确找出多边形的外角;2 掌握多边形的外角和公式,能利用内角和与 外角和公式解决实际问题.
重点 多边形外角和定理的探索和应用．
难点 灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题1、多边形的内角和公式是什么 (n－2)·180°2、正n边形的内角怎么计算？活动探究一：小组活动，回答下列问题。（小组讨论，3min） （1）小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？ （2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ （3）在下图中，你能求出1+2+3+4+5的结果吗？你是怎样得到的？∵∠1+∠EAB=1800 ∠2+∠ABC=1800 ∠3+∠BCD=1800 ∠4+∠CDE=1800 ∠5+∠DEA=1800∴ ∠1+∠EAB+ ∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+ ∠4+∠CDE+ ∠5+∠DEA=9000∵五边形的内角和为（5-2）×1800=5400∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．这样，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°【想一想】如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？ 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.定理多边形的外角和等于360° 思考自议通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，由特殊到一般，培养学生解决问题的逻辑思维能力，也为多边形外角和的得出做好铺垫。 利用生活情境，设计问题，激发学生的兴趣和积极性，同时给学生一定的思考空间。
讲授新课 提炼概念 定理多边形的外角和等于360°三、典例精讲例2：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？解：设这个多边形是n边形，则它的内角和为（n-2）﹒180°，外角和为360°。则根据题意， 得（n-2）﹒180°=3×360° 解得n=8 所以这个多边形是八边形。 多边形外角和定理的探索和应用． 培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力．
课堂检测 四、巩固训练 1.下列命题是假命题的是（ ）A.三角形的内角和是180°．B.多边形的外角和都等于360°．C.五边形的内角和是900°．D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．C2.如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为何？ A. B. C. D. A3. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第一次回到出发地A点时，他一共走了________．1204.已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。解： 设多边形的边数为n ∵它的内角和等于 (n-2) 180°， 多边形外角和等于360 ， ∴ (n-2) 180°=2× 360 。 解得: n=6 ∴这个多边形的边数为65.有一个正多边形，它的一个外角等于相邻内角的0.2倍，这个多边形是几边形？解：设这个正多边形的每个内角为x°， 则每个外角为0.2x°， 得x°＋0.2x°＝180°， 解得x°＝150°， 则0.2x°＝0.2×150°＝30°. 这个正多边形的边数为：360°÷30°＝12. 因此，这个多边形是十二边形.
课堂小结 1.多边形的外角及外角和的定义 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.2.多边形的外角和等于360°
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北师大版 八年级下
6.4.2 多边形内角和与外角和(二)
情境引入
1、多边形的内角和公式是什么
2、正n边形的内角怎么计算？
(n－2)·180°
合作学习
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出 1+ 2+ 3+ 4+ 5的结果吗？你是怎样得到的？
问题
方法一:
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∠1+∠6=？
∠2+∠7=？
∠3+∠8=？
∠4+∠9=？
∠5+∠10=？
∠6+∠7+∠8+∠9+∠10
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
=180°×5 -(∠6+∠7+∠8+∠9+∠10) =180°×5-180°× (5-2)
=900°-540°=360°
=180°
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
=540°
方法二：平移角
C
1+ 2 + 3+ 4+ 5=360°
A
B
D
E
1
2
3
4
5
你和小明的思路一样吗？
1
3
2
4
6
5
如图，六边形的内角和为
（5-2）×1800=7200
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
=6 ×1800-7200 = 3600
如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？
观看下面动画，与同伴交流八边形呢？
提炼概念
1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.
2.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
多边形一个顶点有两个外角，但求外角和的时候只取一个外角.
注意
定理多边形的外角和等于360°
∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_____
∴ n边形的内角和加外角和等于 ________
∵ n 边形的内角和等于 ___________
∴ n 边形的外角和等于
n 180 – (n-2) 180 =360
180 ,
n 180 ，
(n-2) 180 ,
你能运用多边形内角和结论推导出多边形外角和结论吗？
注意：
多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°.
典例精讲
例2：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和为
（n-2）﹒180°，外角和为360°。
则根据题意，
得（n-2）﹒180°=3×360°
解得n=8
所以这个多边形是八边形。
归纳概念
1.多边形的外角和为360°.
2.多边形的内(外)角和与边数间的关系：
(1)多边形的内角与边数有关，且随着边数的增加而增加．
(2)多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少无关，其
作用是：
①已知正多边形外角的度数，求正多边形的边数；
②已知正多边形的边数，求各相等外角的度数．
课堂练习
1.下列命题是假命题的是（ ）
A.三角形的内角和是180°．
B.多边形的外角和都等于360°．
C.五边形的内角和是900°．
D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
C
2、如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？( )
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
解：在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠BOM=360°-220°=140°．
∵∠BOD+∠BOM=180°，
∴∠BOD=180°-∠BOM
=180°-140°
=40°．
选A
3. 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10 m后向左转30°，再沿直线前进10 m，又向左转30°……照这样走下去，小亮第一次回到出发地A点时，他一共走了________．
解析： 由题意知，当小亮第一次回到出发地A点时，所走过的路线构成一个边长为10 m，每个外角都是30°的正多边形．由多边形的外角和定理知这个多边形的边数是360°÷30°＝12，所以小亮一共走了120 m.
120 m
4.已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n
∵它的内角和等于 (n-2) 180°，
多边形外角和等于360 ，
∴ (n-2) 180°=2× 360 。
解得: n=6
∴这个多边形的边数为6
5.有一个正多边形，它的一个外角等于相邻内角的0.2倍，这个多边形是几边形？
解：设这个正多边形的每个内角为x°，
则每个外角为0.2x°，
得x°＋0.2x°＝180°，
解得x°＝150°，
则0.2x°＝0.2×150°＝30°.
这个正多边形的边数为：360°÷30°＝12.
因此，这个多边形是十二边形.
课堂总结
定义
正n边形的外角
多边形外角和
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
多边形的外角和等于360°
作业布置
教材课后配套作业题。
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