第十章 三角形的有关证明专题训练 等腰三角形的性质与判定的综合应用（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题训练
等腰三角形的性质与判定的综合应用
类型一 求角的度数
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC，交BC于点E，连接EA，则∠BAE的度数为 ( )
A.30° B.80° C.90° D.110°
第1题图 第2题图
2.如图，在△ABC中，∠BAC=108°，过点A作AD⊥BC于点D，且DC=AB+BD，则∠C=______°.
3.如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，且满足AD=BD=BC.E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.
(1)求∠BAC和∠ACB的度数；
(2)求证：△ACF是等腰三角形.
类型二 求线段的长度
4.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD.若AC=6，BC=4，则BD的长为( )
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
5.如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB 的平分线分别交ED于点G，F.若BE=6，DC=8，DE=20，则FG=_________.
6.已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB 于点D，DE∥BC.
(1)如图①，如果E是边AC的中点，AC=8，求：DE的长；
(2)如图②，DE平分∠ADC，∠B=30°，在边BC上取点F使BF=DF，若BC=9，求DF 的长.
类型三 判断三角形的形状
7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AC于点E，AD，BE相交于点F，则图中的等腰三角形有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8.已知D为△ABC所在平面内一点，且DB=DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE=DF.
(1)如图，当点D在边BC上时，判断△ABC的形状（直接写出答案）.
(2)当点D在△ABC内部时，(1)中的结论仍成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例（画图说明）.
(3)当点D在△ABC外部时，(1)中的结论仍成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例（画图说明）.
类型四 分类讨论思想的应用
9.已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为( )
A.70° B.20° C.70°或20° D.40°或140°
10.如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=12cm，动点P从点C出发沿CB以3 cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以2 cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，那么当t=_________时，△POQ是等腰三角形.
第10题图 第11题图
11.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=20°，BP平分∠ABC，D是射线BP上一点.如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是__________.
12.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，点A，C的坐标分别为A(10，0)，C(0，3)，D是OA的中点，点P在边BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标.
参考答案
1.C. 2. 24
3.(1)设∠BAC=x°.4D=BD，∴∠BAC=∠ABD=x°.∴∠BDC=∠BAC+∠ABD=2x°.∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=2x°,∵∴AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x°.∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴x+2x+2x=180，解得x=36.∴∠BAC=36°，∠ACB=72°
(2)∵E是AB的中点，AD=BD，∴DE⊥AB，即FE⊥AB.∴AF=BF.∴∠BAF=∠ABF=72°.又∵∠ABD=∠BAD=36°,∴∠FAC=∠FBD=36°.∵∠ACB=72°,∴∠AFC=∠ACB-∠FAC=36°.∴∠FAC=∠AFC=36°.∴∠ACF是等腰三角形.
4. A 5. 6
6.(1)∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD.∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD.∴∠EDC=∠ACD.∴ED=EC.∵E是边AC的中点，AC=8，∴∴DE=4
(2)∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠CDE=∠BCD.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE.∴∠B=∠BCD.∴DB=DC.过点D作DG⊥BC于点G.∵DB=DC，DG⊥BC,∴ 5.∵∠B=30°,BF=DF,∴∠BDF=∠B=30°.∴∠DFG=∠B+∠BDF=60°.∴∠FDG=30°.∴BF=DF=2FG.∵GB=BF+FG=3FG=4.5,.∴FG=1.5.∴DF=2FG=3.
7.C
8.(1)△ABC是等腰三角形
(2)如图①，当点D在△ABC 内部时，(1)中的结论仍成立 理由：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中，.∴Rt△DEB≌Rt△DFC.∴∠EBD=∠FCD.∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB.∴∠EBD+∠DBC=∠FCD+∠DCB，即∠EBC=∠FCB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
(3)当点D在∠ABC外部时，(1)中的结论不一定成立，反例不唯一，如图②所示
9.C 10. 或12 11.40°或70°或100°
12.过点P作PM⊥OA于点M，易得四边形OCPM为长方形.∵点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，3)，∴OA=10，OC=3.∵D是OA的中点，∴
①当OP=OD时，OP=5，CO=3，∴易得CP=4.∴点P的坐标为(4，3).
②当OD=PD时，PD=5，PM=OC=3，∴易得MD=4.∴CP=5-4=1或CP=5+4=9.∴点P的坐标为(1，3)或(9，3).
综上所述，点P的坐标为(4，3)或(1，3)或(9，3).
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)