人教A版数学 选修4-4 1.2.1 极坐标系的概念 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
1.2. 极坐标系
1.2.1 极坐标系的概念
平面直角坐标系内的点P与其坐标(a,b)一一对应
平面直角坐标系
a
P
.
x
y
O
b
(a,b)
平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系.有时用别的坐标系比较方便.
还有什么坐标系呢
5 海里
（1）距离：5 海里
（2）方向：东偏北20 .
O
x
缉私船
20
发现走私!!!
如何确定走私船的位置关系呢？
思考:
下图是某校园的平面示意图.假设某
同学在教学楼处，请回答下列问题：
(1)他向东偏北60o方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
45o
60m
A
E
B
C
D
60o
办公楼
实验楼
图书馆
体育馆
120m
教学楼
50m
可以用方向和距离来表示一点的位置
这种用方向和距离表示平面内一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
极坐标系
在平面内取一个定点O，叫做极点
引一条射线Ox，叫做极轴
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）
这样就建立了一个极坐标系
x
O
有序数对（ ， ）就叫做M的极坐标。
记作M( ， )
点的极坐标
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记作 ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记作


x
O
M
例2：在极坐标系里描出下列各点.
O
x
A
B
C
D
E
F
G
解：如图,以点A为极点，AB所在的射线为极轴，建立极坐标系.
例2 在右图中，用点A、B、C、D、E分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置,建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。
45o
60m
A
E
B
C
D
60o
办公楼
实验楼
图书馆
体育馆
120m
教学楼
50m
x
A(0,0)
B(60,0)
C(120,)
D(60,)
E(50,)
在同一极坐标系中,有如下极坐标：
(1)这些极坐标之间有何异同？
(2)这些极角有何关系？
(3)这些极坐标所表示的点有什么关系
极径相同，极角不同
极角的始边相同，终边也相同，
即:它们是终边相同的角
它们表示同一个点
思考
①平面内一个点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
思考
平面内一个点的极坐标有无数种表示
极坐标 与
表示同一个点
特别地：极点O的坐标为
极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
(1)给定一个（ , ）,就可以在坐标平面内确定惟一的点M
(2)给定平面上一点M，却有无数个极坐标与之对应
若规定 ＞ 0, 0≤ ＜2π, 则除极点外,平面内的点与其极坐标一一对应
例3　设点A ，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π).
解　如图所示，
延伸探究
1.若将极角θ限定为0≤θ<2π，求例2中的点的极坐标.
2.若将极角θ改为θ∈R，求例2中的点的极坐标.
负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。
对于点M（- ， ）( >0) ,规定：
(1)作射线OP，使 xOP=
(2)在OP的反向延长线上取一点M，使 OM =
O
x
P

M
（- ， ）
极坐标系中两点间的距离
∴△AOB为直角三角形，
小结：
在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝
两种特殊情形:
(1)当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|.
(2)当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.
3
1.极坐标系的四要素
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.
2.在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置.
3.在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝
两种特殊情形:
(1)当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|.
(2)当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.