第十章 三角形的有关证明专题训练 线段垂直平分线与角平分线的综合应用（含答案）

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专题训练
线段垂直平分线与角平分线的综合应用
类型一 与等腰三角形综合
1.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC，AB于点D，E，连接CE，BF平分∠ABC，
交CE于点F.若BE=AC，∠ACE=12°，则∠EFB的度数为( )
A.58° B.63° C.67° D.70°
第1题图 第2题图
2.如图，△ABC是三边都不相等的三角形，P是三个内角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，当点P，Q同时在不等边三角形ABC的内部时，∠BOC=100°，则∠BPC=_______.
3.已知在△ABC中，AB=AC，作AB的垂直平分线，交直线BC于点M，交AB于点N.
(1)如图①，若∠A=40°，则∠NMB=__________.
(2)如图②，若∠A=70°，则∠NMB=__________.
(3)如图③，若∠A=120°，则∠NMB=_________.
(4)由(1)(2)(3)问，你发现∠NMB与∠A有什么关系？请说明理由.
类型二 与直角三角形综合
4.如图，在△ABC中， AC=3,BC=1,AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD，则CD的长为( )
C.1
5.如图，C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，垂足为E，F，点B在AE的延长线上，点D在AF上.若AB=21，AD=9，BC=DC=10，则AE的长为__________.
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.
(1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
(2)若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长度.
类型三 线段垂直平分线与角平分线综合
7.如图，在△ABC中，O是∠BAC的平分线与线段AC的垂直平分线的交点，OD⊥AB于点D，
OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F，则下列结论不一定成立的是( )
A.OA=OC B.OD=OF C.OA=OB D.AD=FC
8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，垂足为E.若DC=2，AD=1，则BE的长为___________。
9.如图，OE，OF分别垂直平分△ABC的边AB，AC，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，连接OI.试判断OI与BC的位置关系，并给出证明.
10.如图①，P是∠AOB的平分线OC上的一点，过点P分别作OA，OB的垂线，垂足分别为
D，H，E是线段OD上一点，F是线段OH上一点，且DE=FH.
(1)求证：点P在线段EF的垂直平分线上.
(2)如图②，如果点E在射线DA上，其余的条件都不变，那么(1)中的结论是否依然成立 请说明理由.
参考答案
1.B 2.115°
3.(1) 20 (2) 35 (3) 60 (4) 理由：∵AB=AC,∴ .∵MN⊥AB,∴∠MNB=90°.∴∠NMB=90°-
4.B 5.15
6.(1)DE⊥DP 理由：∵PD=PA，∴∠A=∠PDA.∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED.∴∠B=∠EDB.∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°..∴∠PDA+∠EDB=90°.∴∠PDE=180°-(∠PDA+∠EDB)=90°，即DE⊥DP.
(2)连接PE.设DE=x，则EB=x，CE=8-x.∵AC=6,PA=2,∴PC=4,PD=2.∵∠C=∠PDE=90°,∴ 即 解得 ∴ .
7.C
9.OI⊥BC 连接OA，过点I作IM⊥OB于点M，IN⊥OC 于点N，IG⊥BC于点G.∵OE，OF分别垂直平分△ABC的边AB，AC，∴OA=OB，OA=OC.∴OB=OC.∵∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，IM⊥OB，IN⊥OC，IG⊥BC，∴IM=IG，IN=IG.∴IM=IN.∴点I在∠BOC的平分线上.又∵OB=OC，∴OI⊥LBC
10.(1)∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PH⊥OB，∴PD=PH.
在Rt△OPD和Rt△OPH中， ∴Rt△OPD≌Rt△OPH.∴OD=OH.
∵DE=FH，∴OD-DE=OH-FH，即OE=OF.设EF与OC交于点G.∵OP平分∠EOF，∴∠EOG=∠FOG.在△EOG和△FOG中，∴△EOG≌△FOG.∴EG=FG， ∴点P在线段EF的垂直平分线上
(2)(1)中的结论依然成立 理由：连接PE，PF.∵PD⊥OA，PH⊥OB，∴∠PDE=∠PHF=90°.∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PH⊥OB，∴PD=PH.
在△PED和△PFH中， ∴△PED≌△PFH.∴PE=PF.
∴点P在线段EF的垂直平分线上.
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