青岛版八年级数学上册 5.6几何证明举例 第二课时 教学课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
几何证明举例（2）
01
学习目标
05
随堂练习
06
课堂小结
03
新知探究
02
旧知回顾
04
例题精讲
1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2.能用“公理”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
1.什么叫等腰三角形？
2.根据本册第二章的学习你知道等腰三角形的哪些性质？
3.这些性质你是怎样得到的？这些性质都是真命题吗？你能用逻辑推理的方法对它们进行证明吗？
“对折”得
等腰三角形的两个底角相等。
证明定理、命题的过程：
1.用数学语言描述定理，即写出“已知，求证”，画出图形；
2.写证明过程.
命题：等腰三角形的两个底角相等
（简称：等边对等角）
已知：如图,在△ABC中,AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
分析：常见辅助线做法
(1)作底边上的高;(2)作顶角的平分线;(3)作底边上的中线.
通过添加辅助线把三角形ABC分成两个全等的三角形，只要证得被分成的两个三角形全等即可得∠B=∠C.
不同与课本的辅助线作法及证明方法.
已知：如图,在△ABC中,AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
证明：作底边BC上的高AD交BC于点D.
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
∵AB=AC(已知)，AD=AD(公共边)，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)。
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).
∴∠ADB=∠ADC=90°(垂线的定义)
等腰三角形的性质定理1:
等腰三角形的两个底角相等.
得
等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合(简称“三线合一”).
通过Rt△ABD≌Rt△ACD,还可以推得BD=DC，∠BAD=∠CAD.因而AD不仅是底边的高线，还是底边的中线和顶角的平分线。
结合小莹的作法，都可得结论：
A
C
B
D
A
C
B
D
∥
∥
图⑵
图⑶
∟
1
2
∥
A
C
B
D
1
2
性质定理2符号语言的应用
∟
⑴∵AB=AC,
∴AD⊥BC,
BD=CD.
∠1=∠2,
∴AD⊥BC
BD=CD,
∠1=∠2.
⑶∵AB=AC,
AD⊥BC
∴BD=CD,
∠1=∠2.
图⑴
∟
∥
1
2
(2)∵AB=AC,
对于“等腰三角形的两个底角等”，有逆命题吗？逆命题是什么，怎样证明呢？
逆命题：
有两个底角相等的三角形是等腰三角形.
A
B
C
D
1.作辅助线AD⊥BC.
2.根据∠ADB= ∠ADC=90°，AD=AD，可推出AB=AC.
发现与证明
已知：如图,在△ABC中, ∠B=∠C.
求证： AB=AC
证明方法依然是做辅助线将原三角形分成两个全等的三角形。
A
B
C
D
等腰三角形的判定定理：
有两个底角相等的三角形是等腰三角形.
△ABC中，
AC=BC，得∠A=∠B;
AB=BC，得∠A=∠C；
∴∠A=∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
等边三角形的每个内角都等于60°吗？它的逆命题又是什么？这个逆命题是真命题吗？
交流与发现
等边三角形的性质定理：
等边三角形的每个内角都是60°.
△ABC中，
∠A=∠B，得AC=BC;
∠A=∠C，得AB=BC；
∴AC=BC=AB.
∴△ABC是等边三角形.
等边三角形的每个内角都等于60°吗？它的逆命题又是什么？这个逆命题是真命题吗？
交流与发现
三个角都相等的三角形是等边三角形。
此即等边三角形的判定定理.
△ABC中，
1)若∠A=60°, AB=AC.
∵∠A=60°, ∴∠B+∠C=120°.
∵AB=AC，∴∠B=∠C=60°=∠A.
∴△ABC是等边三角形。
2)若∠B=60°，AB=AC.也可证得△ABC是等边三角形.
还有其他的方法判定等边三角形吗？
交流与发现
等边三角形的判定定理：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。
求证：AD=AF.
分析：从已知出发先由已知AB=AC利用“等边对等角”推得∠B=∠C，再由等角的余角相等推得∠BDE=∠F,进而得到∠ADF=∠F,最后根据“等角对等边”推出AD=AF.
例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。
求证：AD=AF.
证明：∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等腰三角形两底角相等)，
∴∠BDE=∠F(等角的余角相等).
又∵DE⊥BC（已知），
∴△BED和△FEC都是直角三角形
(直角三角形的定义).
例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。
求证：AD=AF.
接上
∵∠BDE=∠FDA(对顶角相等).
∴∠FDA=∠F(等量代换).
∴AD=AF
(有两个底角相等的三角形是等腰三角形).
证明角或线段的相等的方法：
发现与总结
1）构造全等三角形，利用对应边和角相等证明；
2）找等腰或等边三角形；
3）对顶角相等；
4）等角的余角(或补角)相等；
还有什么其他的方法？
1.已知，如图D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB.
求证：AB=AC.
C
B
A
D
2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请证明DE=BD+EC．
3.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．
（1）∠E等于多少度？
（2）△DBE是什么三角形？为什么？
1.等腰三角形的性质定理和判定定理：
2.等边三角形的性质定理和判定定理：