2021—2022学年人教版数学八年级下册18.2.3 正方形的判定巩固提升练习（word版含答案）

18.2.3 正方形的判定巩固提升练习
1. 四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论错误的是( )
A.当时，四边形是矩形
B.当平分时，四边形是菱形
C.当时，四边形是矩形
D.当且时，四边形是正方形
2. 如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角再展开，要使展开所得的四边形是正方形，那么剪口（图中虚线）应与折痕成多少度的角( )
A. B. C. D.

3. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是( )
A.当时，它是菱形
B.当时，它是菱形
C.当时，它是矩形
D.当时，它是正方形

4. 如图，在中，，为的中点，连接，在线段的延长线上取点，使得，连接，．下列说法错误的是( )
A.四边形一定是平行四边形
B.四边形可能是菱形
C.四边形一定是矩形
D.四边形一定是正方形

5. 已知四边形是平行四边形，再从下列四个条件中，选两个作为补充条件，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )
①；②；③；④.
A.选①② B.选①③ C.选②③ D.选②④
6. 如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，的中点，对于四边形的形状，以下结论中，错误的是（ ）
A.当时，四边形为正方形
B.当时，四边形为菱形
C.当时，四边形为矩形
D.四边形一定为平行四边形
7. 将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形可以使它的形状改变．当时，如图，测得；当时，如图，此时的长为________.
图 图
8. 如图，在中，，，，点是上一动点，连接，将沿折叠，点落在点，连接交于点，连接．当是直角三角形时，的长为________．
9. 如图，在中，，垂直平分，，当满足条件________时，四边形是正方形．
10. 如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是边、的中点，当＝________时，四边形是正方形．
11. 点是四边形内一点，若，，，点分别是的中点，则给添加一个条件________使四边形为正方形.

12. 如图，在正方形的内侧，作等边 ，则的度数是________．
13. 已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接.
求证： ；
若，，判断四边形的形状，并证明你的结论．

14. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接，.
求证：；
当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；
在满足的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明理由．

15. 如图，、、、分别是四边形四条边的中点．
试判定四边形的形状，并说明理由；
四边形的对角线满足什么条件，可使四边形为矩形，说明理由；
四边形的对角线满足什么条件，可使四边形为菱形，说明理由；
四边形的对角线满足什么条件，可使四边形为正方形，请说明理由．

16. 已知：如图， 中，延长至点，使，连接交于点．
求证： ；
取中点，连接， 满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．

17. 已知：如图，菱形的对角线与相交于点，若
求证：四边形是正方形；
是上一点，，垂足为，与相交于点，求证：

18. 综合与实践：
背景阅读：宽与长的比是（约为）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用的黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙等．
实践操作：下面我们折叠出一个黄金矩形（如图所示）：
第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸展平．
第二步：如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处．
第四步：展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图）就是黄金矩形．
问题解决：
请在图中证明四边形是正方形；
若，请通过计算来说明矩形是黄金矩形．

19. 综合与实践
问题情境：
在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图，点为正方形内一点， ，将绕点按逆时针方向旋转 ，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接，．试判断四边形的形状．
探究展示：
勤奋小组发现四边形的形状是正方形，并展示了如下的证明方法：
证明：由旋转可知：
，________，
又∵ ，，
∴ ，
∴ 四边形是矩形（依据）
由旋转可知，________，
∴ 四边形是正方形．（依据）
图 图
解决问题：
请你将上述证明过程补充完整，并写出“依据”“依据”分别是指什么？
智慧小组还发现：若， ，还可以求出的长度，请你写出求解过程；
创新小组受到智慧小组的启发，继续进行探究，发现：如图，当时，可以求出的度数，请你帮创新小组解决这个问题．
参考答案与试题解析
一、 选择题
1.
【答案】
C
2.
【答案】
B
3.
【答案】
D
4.
【答案】
D
5.
【答案】
C
6.
【答案】
A
二、 填空题
7.
【答案】
8.
【答案】
或
9.
【答案】
(或)
10.
【答案】
11.
【答案】
是等腰直角三角形
12.
【答案】
三、 解答题
13.
【答案】
证明：四边形是平行四边形，
，即，
，，
点是的中点，
，
在和中，
.
解：四边形是正方形.
证明：∵ 四边形是平行四边形，
∴ .
又∵ ,
∴ .
由知：，
，
四边形是平行四边形，
，即，
四边形是平行四边形，
又∵ ，
∴ 四边形为菱形.
，
，
，
，
四边形是正方形.
14.
【答案】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即，
∴ 四边形是平行四边形，
∴ .
解：四边形是菱形，理由如下：
∵ 为中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形是平行四边形，
∵ ，为中点，
∴ ，
∴ 四边形是菱形.
解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下：
∵ ，，为的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形是正方形．
15.
【答案】
解：四边形是平行四边形，
证明：连接，如图，

、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
同理： ，
四边形为平行四边形．
四边形的对角线互相垂直时，四边形是矩形；
理由：若，则 平行四边形是矩形．
四边形的对角线相等时，四边形是菱形；
理由：若，则 平行四边形是菱形．
四边形的对角线相等且互相垂直时，四边形是正方形．
理由：若，且，则 平行四边形是正方形．
16.
【答案】
证明：∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，，
∴ ，
，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
解：， ，四边形是正方形.
∵ ，
∴ .
又∵ 是的中点，
∴ .
∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，，
∴ ，，
∴ 四边形是平行四边形．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ 平行四边形是菱形．
∵ ，
∴ 菱形是正方形.
17.
【答案】
证明：∵ 四边形是菱形，
∴ ，，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形是正方形．
∵ 四边形是正方形，
∴ ，，，，
∴ ，，
∵ ，垂足为，
，，
又，
，
，
.
18.
【答案】
解：由矩形性质可知，
由折叠可知，，
∴ ，
∴ 四边形是矩形.
又∵ ，
∴ 矩形是正方形．
∵ ，∴ .
在中，.
由折叠知，
∴ .
又∵ ，
∴ ．
∴ 矩开为黄金矩形．
19.
【答案】
解：由旋转可知：，，
又，，
，
四边形是矩形.(依据)
由旋转可知，，
四边形是正方形.(依据)
依据：有三个角是直角的四边形是矩形
依据：有一组邻边相等的矩形是正方形.
设，
∵ 四边形是正方形，
，，
在中，，
，
解得（舍得），.
的长为.
，
， ，
.
.试卷第4页，总9页
试卷第5页，总9页