2021－2022学年人教版下册八年级数学18.2.3 正方形性质与判定 综合运用 （word版含答案）

18.2.3 正方形性质与判定综合运用二
1. 如图，在四边形中，，，，交于点．添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ）
A.添加“”，则四边形是矩形
B.添加“”，则四边形是菱形
C.添加“”，则四边形是菱形
D.添加“”，则四边形是正方形
2. 将图中两个三角形按图所示的方式摆放，其中四边形为矩形，分别连接，，甲、乙两人有如下结论：
甲：若四边形为正方形，则四边形必是正方形；
乙：若四边形为正方形，则四边形必是正方形．
下列判断正确的是()
A.甲正确，乙不正确 B.甲不正确，乙正确
C.甲、乙都不正确 D.甲、乙都正确
3. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，下列四个判断中，不正确的是( )
A.四边形是平行四边形
B.如果，那么四边形是矩形
C.如果平分，那么四边形是菱形
D.如果且，那么四边形是正方形
4. 在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图， 的对角线相交于点，过点作垂直于交，分别于点，，连接，．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：；小何：四边形是正方形；
小夏：；小雨：．
这四位同学写出的结论中不正确的是( )
A.小青 B.小何 C.小夏 D.小雨

5. 如图所示，在正方形中，为边中点，连接并延长线于点，对角线交于点，已知，则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在矩形中，的平分线于交于，点在的延长线上，，连接与交于，有以下结论：
① ② ③ ④
其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
7. 矩形与如图放置，点，，共线，点共线，连接，取的中点，连接，若，则=（ ）
A. B. C. D.

8. 如图，菱形的对角线，，分别向两端延长线段，使．连结、、、，则四边形的面积是________．
9. 如图，在四边形中，，，，过点作，交于点．若，则的长为________.
10. 已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边的端点，分别在轴和轴上，且点，，直角顶点在第一象限，则点的坐标为________．
11. 如图中，交于，交于，
（1）如果是的角平分线，那么四边形是________形．请证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，给再添加一个条件：________，则四边形是正方形．（只填空，不要证明）

12. 如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则四边形就是一个正方形．判断的根据是________．
13. 如图，正方形的边长为，，，，分别是，，，上的动点，且
求证：四边形是正方形；
判断直线是否经过某一定点，并说明理由．

14. 如图，四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接.
求证：矩形是正方形；
若，，求的长；
当时，求的度数.

15. 在的正方形网格中，正方形边长为单位，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺作图．
（1）在图中画一个与面积相等，且以为边的平行四边形，顶点均在格点上；
（2）在图中画一个以点为顶点的正方形，其余三点均在格点上，此正方形的面积与面积相等．

16. 已知：如图，是正方形的对角线上的点，连接，．
求证：；
若将沿对折后得到；当点在的何处时，四边形是正方形？请证明你的结论．

17. 如图，是 边上的一点，连接，以为边作 使点在线段上（不与端点重合）．
求证： ；
如图，连接，当点是中点且时，求证：四边形是矩形；
在的情况下，当且时，判断线段和的数量关系，并证明．

18. 在 中，的平分线交于点，交的延长线于点，分别过点，作，.
如图，求证：四边形是菱形；
如图，连接，，与相交于点，若，求证：；
如图，连接交于点，连接，若，，，直接写出的长．
参考答案与试题解析
一、 选择题
1.
【答案】
A
2.
【答案】
B
3.
【答案】
D
4.
【答案】
B
5.
【答案】
D
6.
【答案】
C
7.
【答案】
C
二、 填空题
8.
【答案】
9.
【答案】
10.
【答案】
11.
【答案】
（1）菱形，
证明：∵ ，，
∴ 四边形是平行四边形．
∵
∴
又∵
∴
∴
∴ □是菱形；
（2），
理由如下：∵ 四边形是菱形，，
∴ 四边形是正方形．
12.
【答案】
有一组邻边相等的矩形是正方形
三、 解答题
13.
【答案】
证明：∵ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ 四边形是菱形．
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形是菱形，，
∴ 四边形是正方形．
解：直线经过正方形的中心，理由如下：
连接交于点．
∵ 四边形是正方形．
∴ ，
∴ ，
∵ ，，，
∴ ，
∴ ，即点为的中点．
∴ 直线经过正方形的中心．
14.
【答案】
证明：过点作于，于，如图，
∵ 四边形为正方形，
.
，，
，.
∵ ，，
∴ .
在和中，
∴ ，
∴ ，
∴ 矩形是正方形.
解：如图，
在中，，
∵ ，
∴ ，
∴ 点与重合，此时是等腰直角三角形，
.
解：当时，
，
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
15.
【答案】
如图所示：平行四边形即为所求；
如图所示：正方形即为所求．
16.
【答案】
证明：∵ 四边形是正方形，
∴ ，，
，
在和中，
∴ ，
∴ ．
解：点在的中点时，四边形是正方形.
理由如下：
由折叠的性质得：，
，，
∵ ，是的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 四边形是菱形，是正方形对角线的交点，
∴ ，
∴ ，
∴ 四边形是正方形．
17.
【答案】
证明：∵ 四边形与四边形是平行四边形，
∴ ，
∴ ，，
∴ .
证明：延长，交于点．
∵ 四边形是平行四边形，
∴ ，
∵ 是中点，
∴ .
∵ ，，
∴ 四边形是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，，
∴ ．
在中，，
即，
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形是平行四边形，
∴ 平行四边形是矩形．
解：，理由如下：
连接，设，
∵ ，，
四边形为平行四边形，
∴ 平行四边形是正方形，
∴ ，， ，
在和中，
，
，
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
由得，在平行四边中，
，．
，
∴ ，
在中，，
∴ ，
∴ .
18.
【答案】
证明：，，
四边形是平行四边形．
，.
，.
平分，，
，，
四边形是菱形．
证明：由知四边形是菱形，
，．
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
解：，
四边形是矩形，
，
，
菱形是正方形，
.
，
，
，
．
同理，，则.
如图，过点作于点，
则，
，
．试卷第4页，总9页
试卷第5页，总9页