5.1.2 垂 线
教材认知
1．垂直：
垂直及相关定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是__ __时，就说这两条直线__ __，其中一条直线叫做另一条直线的__ __，它们的__ __叫做垂足．
2．垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有__ __直线与已知直线垂直．
3．垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__ __最短．简单说成：__ __．
4．点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的__ __．
微提示
1.垂直是相交的一种特殊情形．
2．垂直的判定和性质．
(1)∵∠AOD＝90°， ∴AB⊥CD；
(2)∵AB⊥CD ， ∴ ∠AOD＝90°.
基础必会
1．(新疆吐鲁番模拟)如图，在线段PA，PB，PC，PD中，长度最小的是( )
A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
2．(甘肃金昌月考)点P为直线l外一点，点A，B，C为直线上三点，PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，则点P到直线l的距离为( )
A．等于2 cm B．小于2 cm C．大于2 cm D．不大于2 cm
3．(西宁模拟)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为( )
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
4．已知∠BOC＝60°，OF平分∠BOC.若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是( )
A．45° B．15° C．30°或60° D．45°或15°
5．(新疆喀什月考)如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．(甘肃武威九中月考)如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是__ __．
7．如图，OA⊥OB，∠AOC＝120°，则∠BOC等于__ __度．
8．(新疆和田模拟)若点A为直线l外一点，点B是直线l上一点，点A到l的距离为3 cm，小明由“两点之间线段最短”得出AB＝3 cm，小颖思考了一下，认为小明的说法不正确，理由是__ __ __ __．
9．(内蒙古赤峰模拟)如图所示，两块三角尺的直角顶点O重叠在一起，且OC，OB恰好平分∠AOB和∠COD，则∠AOD的度数是__ __．
10．(宁夏固原模拟)如图，直线AB，CD，NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°.
(1)线段____的长度表示点M到NE的距离；
(2)比较MN与MO的大小(用“＜”连接)：__________，并说明理由：__________；
(3)求∠AON的度数．
能力提升
1．(甘肃武威月考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
2．(甘肃张掖质检)如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，则∠AOG的度数为( )
A．56° B．59° C．60° D．62°
3．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有( )
A.0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．(兰州模拟)在△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，AC＝13，则点B到斜边AC的距离是 ．
5．(内蒙古巴彦淖尔模拟)如图，AB交CD于点O，OE⊥AB.
(1)若∠EOD＝20°，求∠AOC的度数．
(2)若∠AOC∶∠BOC＝1∶2，求∠EOD的度数．
PAGE5.1.2 垂 线
教材认知
1．垂直：
垂直及相关定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是__直角__时，就说这两条直线__互相垂直__，其中一条直线叫做另一条直线的__垂线__，它们的__交点__叫做垂足．
2．垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有__一条__直线与已知直线垂直．
3．垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__垂线段__最短．简单说成：__垂线段最短__．
4．点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的__长度__．
微提示
1.垂直是相交的一种特殊情形．
2．垂直的判定和性质．
(1)∵∠AOD＝90°， ∴AB⊥CD；
(2)∵AB⊥CD ， ∴ ∠AOD＝90°.
基础必会
1．(新疆吐鲁番模拟)如图，在线段PA，PB，PC，PD中，长度最小的是(B)
A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD
2．(甘肃金昌月考)点P为直线l外一点，点A，B，C为直线上三点，PA＝2 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，则点P到直线l的距离为(D)
A．等于2 cm B．小于2 cm C．大于2 cm D．不大于2 cm
3．(西宁模拟)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为(D)
A．30° B．60° C．150° D．30°或150°
4．已知∠BOC＝60°，OF平分∠BOC.若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是(A)
A．45° B．15° C．30°或60° D．45°或15°
5．(新疆喀什月考)如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为(C)
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．(甘肃武威九中月考)如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是__垂线段最短__．
7．如图，OA⊥OB，∠AOC＝120°，则∠BOC等于__30__度．
8．(新疆和田模拟)若点A为直线l外一点，点B是直线l上一点，点A到l的距离为3 cm，小明由“两点之间线段最短”得出AB＝3 cm，小颖思考了一下，认为小明的说法不正确，理由是__当AB⊥l时，AB为垂线段，此时AB＝3__cm；当AB与l不垂直时，则AB不是垂线段，此时AB>3__cm__．
9．(内蒙古赤峰模拟)如图所示，两块三角尺的直角顶点O重叠在一起，且OC，OB恰好平分∠AOB和∠COD，则∠AOD的度数是__135°__．
10．(宁夏固原模拟)如图，直线AB，CD，NE相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON＝90°，∠AOC＝50°.
(1)线段____的长度表示点M到NE的距离；
(2)比较MN与MO的大小(用“＜”连接)：__________，并说明理由：__________；
(3)求∠AON的度数．
【解析】(1)线段MO的长度表示点M到NE的距离；
答案：MO
(2)MN与MO的大小关系为：MO＜MN，是因为垂线段最短；
答案：MO＜MN 垂线段最短
(3)∵∠BOD＝∠AOC＝50°，
OM平分∠BOD，∴∠BOM＝25°，
∴∠AON＝180°－∠BOM－∠MON＝180°－25°－90°＝65°.
能力提升
1．(甘肃武威月考)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有(D)
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
2．(甘肃张掖质检)如图，AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，则∠AOG的度数为(B)
A．56° B．59° C．60° D．62°
3．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有(D)
A.0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．(兰州模拟)在△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，AC＝13，则点B到斜边AC的距离是．
5．(内蒙古巴彦淖尔模拟)如图，AB交CD于点O，OE⊥AB.
(1)若∠EOD＝20°，求∠AOC的度数．
(2)若∠AOC∶∠BOC＝1∶2，求∠EOD的度数．
【解析】(1)因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠EOB＝90°，
因为∠EOD＝20°，所以∠AOC＝180°－90°－20°＝70°.
(2)设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，
因为∠AOC＋∠BOC＝180°，
所以x＋2x＝180°，解得：x＝60°，
所以∠AOC＝60°，所以∠BOD＝60°，
所以∠EOD＝90°－60°＝30°.
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