5.3.2 命题、定理、证明
教材认知
1．命题
(1)定义：__判断__一件事情的语句．
(2)构成：命题由__题设__和__结论__两部分组成．__题设__是已知事项，
__结论__是由已知事项推出的事项．
(3)形式：命题常写成“如果……那么……”的形式， “如果”后接的部分是
__题设__，“那么”后接的部分是__结论__．
(4)类型：①真命题：题设成立，结论__一定成立__的命题；②假命题：题设成立时，不能保证__结论一定成立__的命题．
2．定理、证明
(1)定理的定义：命题的正确性是通过推理证实的，这样得到的__真命题__叫做定理．定理可以作为继续推理的依据．
(2)证明的定义：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过__推理__，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
微提示
1．掌握命题的概念要注意两点：(1)命题不一定是正确的；(2)疑问句、祈使句都不是命题．
2．假命题也是命题．
3．改写命题时，切忌改变命题的本意．
基础必会
1．(新疆伊犁模拟)下列句子中，属于命题的是(C)
A．直线AB和CD垂直吗 B．作线段AB的垂直平分线
C．同位角相等，两直线平行 D．画∠ AOB＝45°
2．(甘肃武威月考)下列说法正确的有(C)
(1)命题不一定是定理，定理一定是命题；(2)定理不可能是假命题；(3)两点确定一条直线；(4)同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；(5)相等的角是对顶角；(6)垂线段最短．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它是假命题的反例为(A)
A．a＝0，b＝－1 B．a＝2，b＝－1 C．a＝2，b＝1 D．a＝1，b＝2
4．(青海玉树模拟)判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为(A)
A．－2 B．－ C．0 D．
5．“如果∠α和∠β的两边分别平行，那么∠α和∠β相等”是(B)
A．真命题 B．假命题 C．定理 D．以上说法都不正确
6．(甘肃天水月考)下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中真命题的个数为(C)
A．4 B．3 C．2 D．1
7．(新疆和田模拟)命题“在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是__在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线__，结论是__这两条直线互相平行__．
8．(甘肃定西月考)对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题：如果__①②__，那么__④(答案不唯一)__(答案不唯一).
9．(内蒙古乌海模拟)下列各语句中，哪些是命题？是命题的，请你先将它改写为：“如果……那么……”的形式，再找出命题的题设和结论．
(1)画一个角等于已知角； (2)互为相反数的两个数的和为0；
(3)当a＝b时，有a2＝b2； (4)当a2＝b2时，有a＝b.
【解析】(1)画一个角等于已知角，不是命题；
(2)互为相反数的两个数的和为0，是命题，改写为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为0，命题的题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的和为0；
(3)当a＝b时，有a2＝b2，是命题，改写为：如果a＝b，那么a2＝b2，命题的题设是a＝b，结论是a2＝b2；
(4)当a2＝b2时，有a＝b，是命题，改写为：如果a2＝b2，那么a＝b，命题的题设是a2＝b2，结论是a＝b.
10．(新疆克拉玛依模拟)(1)如图，请在直线AB∥CD，∠A＝30°，∠CDA＝30°三项中选择两个作为题设，一个作为结论，写一个真命题：
如果__________且____________，那么__________；
(2)请说明你写的命题是真命题的理由．
【解析】(答案不唯一)(1)如果AB∥CD且∠A＝30°，那么∠CDA＝30°.
答案：AB∥CD ∠A＝30° ∠CDA＝30°
(2)∵AB∥CD，∴∠CDA＝∠A＝30°(两直线平行，内错角相等).
能力提升
1．阅读材料：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调，我们把其中一个命题叫做另一个命题的逆命题，则命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是__在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上__，该命题的题设是__在角的内部到角两边距离相等的点__，结论是__在这个角的平分线上__．
2．(兰州模拟)请指出下列命题的题设和结论，并判断它们的真假，若是假命题，请举出一个反例．
(1)等角的补角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等．
【解析】(1)题设：有两个角相等；结论：这两个角的补角相等；是真命题；
(2)题设：有两个数的绝对值相等；结论：这两个数相等；是假命题；反例：|2|＝|－2|，2≠－2.
3．(内蒙古乌兰察布模拟)探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为________；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为________；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题(用文字叙述)：________．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【解析】(1)①如题图1中，∠ABC＋∠DEF＝180°.
如题图2中，∠ABC＝∠DEF.
理由：如题图1中，∵BC∥EF，∴∠DPB＝∠DEF，
∵AB∥DE，∴∠ABC＋∠DPB＝180°，∴∠ABC＋∠DEF＝180°.
如题图2中，∵BC∥EF，
∴∠DPC＝∠DEF，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DPC，∴∠ABC＝∠DEF.
答案：∠ABC＋∠DEF＝180° ∠ABC＝∠DEF
②如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
(2)设两个角度数分别为x和2x－30°，
由题意x＝2x－30°或x＋2x－30°＝180°，解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°和30°或70°和110°.
PAGE5.3.2 命题、定理、证明
教材认知
1．命题
(1)定义：__ __一件事情的语句．
(2)构成：命题由__ __和__ __两部分组成．__ __是已知事项，
__ __是由已知事项推出的事项．
(3)形式：命题常写成“如果……那么……”的形式， “如果”后接的部分是
__ __，“那么”后接的部分是__ __．
(4)类型：①真命题：题设成立，结论__ __的命题；②假命题：题设成立时，不能保证__ __的命题．
2．定理、证明
(1)定理的定义：命题的正确性是通过推理证实的，这样得到的__ __叫做定理．定理可以作为继续推理的依据．
(2)证明的定义：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过__ __，才能作出判断，这个推理过程叫做证明．
微提示
1．掌握命题的概念要注意两点：(1)命题不一定是正确的；(2)疑问句、祈使句都不是命题．
2．假命题也是命题．
3．改写命题时，切忌改变命题的本意．
基础必会
1．(新疆伊犁模拟)下列句子中，属于命题的是( )
A．直线AB和CD垂直吗 B．作线段AB的垂直平分线
C．同位角相等，两直线平行 D．画∠ AOB＝45°
2．(甘肃武威月考)下列说法正确的有( )
(1)命题不一定是定理，定理一定是命题；(2)定理不可能是假命题；(3)两点确定一条直线；(4)同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；(5)相等的角是对顶角；(6)垂线段最短．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，能说明它是假命题的反例为( )
A．a＝0，b＝－1 B．a＝2，b＝－1 C．a＝2，b＝1 D．a＝1，b＝2
4．(青海玉树模拟)判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为( )
A．－2 B．－ C．0 D．
5．“如果∠α和∠β的两边分别平行，那么∠α和∠β相等”是( )
A．真命题 B．假命题 C．定理 D．以上说法都不正确
6．(甘肃天水月考)下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③内错角相等，则它们的角平分线互相垂直；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，其中真命题的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
7．(新疆和田模拟)命题“在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”的题设是__ __，结论是__ __．
8．(甘肃定西月考)对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个真命题：如果__ __，那么__ __(答案不唯一).
9．(内蒙古乌海模拟)下列各语句中，哪些是命题？是命题的，请你先将它改写为：“如果……那么……”的形式，再找出命题的题设和结论．
(1)画一个角等于已知角； (2)互为相反数的两个数的和为0；
(3)当a＝b时，有a2＝b2； (4)当a2＝b2时，有a＝b.
10．(新疆克拉玛依模拟)(1)如图，请在直线AB∥CD，∠A＝30°，∠CDA＝30°三项中选择两个作为题设，一个作为结论，写一个真命题：
如果__________且____________，那么__________；
(2)请说明你写的命题是真命题的理由．
【
能力提升
1．阅读材料：“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”这两个命题的题设和结论在命题中的位置恰好对调，我们把其中一个命题叫做另一个命题的逆命题，则命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是__ __，该命题的题设是__ __，结论是__ __．
2．(兰州模拟)请指出下列命题的题设和结论，并判断它们的真假，若是假命题，请举出一个反例．
(1)等角的补角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等．
3．(内蒙古乌兰察布模拟)探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P.∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为________；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为________；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题(用文字叙述)：________．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
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