第六章 实 数
6.1 平 方 根
第1课时
教材认知
1．算术平方根
(1)定义：如果一个__正数__x的__平方__等于a，即__x2＝a__，那么这个
__正数__x叫做a的算术平方根．a叫做__被开方数__．
(2)记法：a 的算术平方根记作“____”．
(3)读法：读作 “__根号a__”．
(4)规定：0的算术平方根是__0__，也就是说， ＝__0__．
2.的双非负性
(1)被开方数a是__非负数__． (2)是__非负数__．
【温馨提示】算术平方根是它本身的数只有0和1.
3．算术平方根的求法和应用
(1)求法：①根据算术平方根的定义，用__平方__的方法；②应用计算器．
(2)应用：利用被开方数越大，对应的算术平方根__越大__，估算一个被开方数的算术平方根的大小．
基础必会
1．化简的结果是(B)
A．－4 B．4 C．±4 D．2
2．(西宁模拟)如图，数轴上点P表示的数可能是(B)
A. B． C． D．
3．(乌鲁木齐模拟)若3x－6的算术平方根为，则x的值为(D)
A．－ B． C．－3 D．3
4．若一个数的算术平方根等于它的相反数，则这个数是(A)
A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1
5．(甘肃金昌模拟)如图，数轴上A，B两点表示的数分别为 和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(C)
A.6个 B．5个
C．4个 D．3个
6．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为__x≥5__．
7．(呼和浩特开来中学质检)已知a，b为两个连续的整数，且a<8．(甘肃武威月考)已知＝2.284，则＝__0.2284__；若＝0.022 84，则x＝__0.0005217__．
9．(新疆喀什模拟)当x取__－5__时，的值最小，最小值是__0__；当x取__5__时，2－的值最大，最大值是__2__．
10．(内蒙古呼伦贝尔模拟)求下列各数的算术平方根．
(1)64； (2)； (3)0.16； (4)(－9)2.
【解析】(1)因为82＝64，
所以64的算术平方根为8，即＝8.
(2)因为＝，所以的算术平方根为，即＝.
(3)因为0.42＝0.16，所以0.16的算术平方根为0.4，
即＝0.4.
(4)(－9)2＝81，因为92＝81，所以81的算术平方根为9，即＝9.
能力提升
1．(呼和浩特模拟)的算术平方根是(D)
A．±4 B．4 C．±2 D．2
2．(宁夏中卫模拟)如图，方格图中小正方形的边长为1.将方格图中的阴影部分图形剪下来，再把剪下的阴影部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的这个正方形的边长为．
3．(甘肃定西月考)已知|2a＋1|＋＝0，则＝__4__．
4．若一个自然数的算术平方根是a，则相邻的下一个自然数的算术平方根是____．
5．(甘肃庆阳模拟)已知2a＋1的算术平方根是0，b－a的算术平方根是，求ab的算术平方根．
【解析】因为2a＋1＝0，所以a＝－.又因为b－a＝，所以b＝－，
所以ab＝××＝，所以ab的算术平方根是.
6.1 平 方 根
第2课时
教材认知
1．平方根
(1)定义：如果一个数的__平方__等于a，那么__这个数__叫做a的平方根，或
__二次方根__．即如果x2＝a，那么__x__叫做__a__的平方根．
(2)表示和读法：非负数a的平方根用符号“__±__”表示，读作
“__正、负根号a__”．
(3)性质：①正数有__两__个平方根，它们互为__相反数__；②0的平方根是__0__；③负数__没有__平方根．
2．开平方
(1)定义：求一个数a的__平方根__的运算．
(2)平方和平方根的关系：互为__逆运算__．
微提醒
求一个数的平方根时，必须牢记正数有两个互为相反数的平方根．
基础必会
1．3的平方根是(D)
A．9 B． C．－ D．±
2．(甘肃定西月考)(－0.7)2的平方根是(B)
A．－0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49
3．(银川模拟)在0，32，(－5)2，－4，－|－16|，x中，有平方根的数有(A)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．(新疆喀什月考)下列运算中正确的是(C)
A．±＝5 B．－＝±5
C．＝2 D．＝2
5．(西宁模拟)如果＝16，则x＝(C)
A．16 B． C．±16 D．±
6．(乌鲁木齐模拟)若8xmy与6x3yn的和是单项式，则(m＋n)3的平方根为(D)
A．4 B．8 C．±4 D．±8
7．(通辽中考)的平方根是(C)
A．±4 B．4 C．±2 D．＋2
8．一个数的平方等于它本身，这个数是__0，1__，一个数的平方根等于它本身，这个数是__0__．
9．(甘肃定西月考)已知一个正数x的两个平方根是a＋1和a－3，则a＝__1__，x＝__4__．
10.(新疆哈密模拟)求下列各数的平方根．
(1)225； (2)； (3)0.003 6； (4)； (5)6.
【解析】(1)因为(±15)2＝225，所以225的平方根是±15.
(2)因为＝，所以的平方根是±.
(3)因为(±0.06)2＝0.003 6，所以0.003 6的平方根是±0.06.
(4)因为＝，所以的平方根是±.
(5)因为6＝，＝，所以6的平方根是±.
11．(呼和浩特武川期中)若5a＋1和a－19是数m的平方根，求a和m的值．
【解析】①当(5a＋1)＋(a－19)＝0，解得：a＝3，则m＝(5a＋1)2＝162＝256.
②当5a＋1＝a－19时，解得：a＝－5，则m＝(－25＋1)2＝576.
故a的值为3，m的值为256；或a的值为－5，m的值为576.
能力提升
1．(甘肃酒泉模拟)若的平方根是±4，则a＝__256__．
2．已知＋＝y＋4，则yx的平方根为__±4__．
3．(甘肃武威月考)已知|a－3|＋(b＋2)2＋＝0，则2a－b＋2c的平方根是__±4__．
4．(新疆伊犁模拟)已知－是a的一个平方根，b是平方根等于本身的数，c是的整数部分，求的平方根．
【解析】∵－是a的一个平方根，∴a＝3；又∵b是平方根等于本身的数，∴b＝0；
又∵c是的整数部分，∴c＝5.∵＝＝4，∴的平方根是±2.
5．(内蒙古呼伦贝尔模拟)方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数i，使i2＝－1，那么(－i)2＝－1，因此－1就有两个平方根i和－i了．方明进一步想到：∵(±2i)2＝(±2)2i2＝－4，∴－4的平方根是±2i；
∵(±3i)2＝(±3)2i2＝－9，∴－9的平方根是±3i.
请你根据上面提供的材料解答下列问题：
(1)求－16，－25，－3的平方根．
(2)求i3，i4，i5，i6，i7，i8，…的值，你发现有什么规律？将你发现的规律用文字表达出来．
【解析】(1)±4i，±5i，± i.
(2)i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，…
规律：若指数是4的倍数，值为1；若指数除以4余1，值为i；
若指数除以4余2，值为－1；若指数除以4余3，值为－i.
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6.1 平 方 根
第1课时
教材认知
1．算术平方根
(1)定义：如果一个__ __x的__ __等于a，即__ __，那么这个
__ __x叫做a的算术平方根．a叫做__ __．
(2)记法：a 的算术平方根记作“__ __”．
(3)读法：读作 “__ __”．
(4)规定：0的算术平方根是__ __，也就是说， ＝__ __．
2.的双非负性
(1)被开方数a是__ __． (2)是__ __．
【温馨提示】算术平方根是它本身的数只有0和1.
3．算术平方根的求法和应用
(1)求法：①根据算术平方根的定义，用__ __的方法；②应用计算器．
(2)应用：利用被开方数越大，对应的算术平方根__ __，估算一个被开方数的算术平方根的大小．
基础必会
1．化简的结果是( )
A．－4 B．4 C．±4 D．2
2．(西宁模拟)如图，数轴上点P表示的数可能是( )
A. B． C． D．
3．(乌鲁木齐模拟)若3x－6的算术平方根为，则x的值为( )
A．－ B． C．－3 D．3
4．若一个数的算术平方根等于它的相反数，则这个数是( )
A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1
5．(甘肃金昌模拟)如图，数轴上A，B两点表示的数分别为 和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( )
A.6个 B．5个
C．4个 D．3个
6．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为__ __．
7．(呼和浩特开来中学质检)已知a，b为两个连续的整数，且a<8．(甘肃武威月考)已知＝2.284，则＝__ __；若＝0.022 84，则x＝__ __．
9．(新疆喀什模拟)当x取__ __时，的值最小，最小值是__ __；当x取__ __时，2－的值最大，最大值是__ __．
10．(内蒙古呼伦贝尔模拟)求下列各数的算术平方根．
(1)64； (2)； (3)0.16； (4)(－9)2.
能力提升
1．(呼和浩特模拟)的算术平方根是( )
A．±4 B．4 C．±2 D．2
2．(宁夏中卫模拟)如图，方格图中小正方形的边长为1.将方格图中的阴影部分图形剪下来，再把剪下的阴影部分重新剪拼成一个正方形，那么所拼成的这个正方形的边长为 ．
3．(甘肃定西月考)已知|2a＋1|＋＝0，则＝__ __．
4．若一个自然数的算术平方根是a，则相邻的下一个自然数的算术平方根是__ __．
5．(甘肃庆阳模拟)已知2a＋1的算术平方根是0，b－a的算术平方根是，求ab的算术平方根．
6.1 平 方 根
第2课时
教材认知
1．平方根
(1)定义：如果一个数的__ __等于a，那么__ __叫做a的平方根，或
__ __．即如果x2＝a，那么__ __叫做__ __的平方根．
(2)表示和读法：非负数a的平方根用符号“__ __”表示，读作
“__ __”．
(3)性质：①正数有__ __个平方根，它们互为__ __；②0的平方根是__ __；③负数__ __平方根．
2．开平方
(1)定义：求一个数a的__ __的运算．
(2)平方和平方根的关系：互为__ __．
微提醒
求一个数的平方根时，必须牢记正数有两个互为相反数的平方根．
基础必会
1．3的平方根是( )
A．9 B． C．－ D．±
2．(甘肃定西月考)(－0.7)2的平方根是( )
A．－0.7 B．±0.7 C．0.7 D．0.49
3．(银川模拟)在0，32，(－5)2，－4，－|－16|，x中，有平方根的数有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．(新疆喀什月考)下列运算中正确的是( )
A．±＝5 B．－＝±5
C．＝2 D．＝2
5．(西宁模拟)如果＝16，则x＝( )
A．16 B． C．±16 D．±
6．(乌鲁木齐模拟)若8xmy与6x3yn的和是单项式，则(m＋n)3的平方根为( )
A．4 B．8 C．±4 D．±8
7．(通辽中考)的平方根是( )
A．±4 B．4 C．±2 D．＋2
8．一个数的平方等于它本身，这个数是__ __，一个数的平方根等于它本身，这个数是__ __．
9．(甘肃定西月考)已知一个正数x的两个平方根是a＋1和a－3，则a＝__ __，x＝__ __．
10.(新疆哈密模拟)求下列各数的平方根．
(1)225； (2)； (3)0.003 6； (4)； (5)6.
11．(呼和浩特武川期中)若5a＋1和a－19是数m的平方根，求a和m的值．
能力提升
1．(甘肃酒泉模拟)若的平方根是±4，则a＝__ __．
2．已知＋＝y＋4，则yx的平方根为__ __．
3．(甘肃武威月考)已知|a－3|＋(b＋2)2＋＝0，则2a－b＋2c的平方根是__ __．
4．(新疆伊犁模拟)已知－是a的一个平方根，b是平方根等于本身的数，c是的整数部分，求的平方根．
5．(内蒙古呼伦贝尔模拟)方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数i，使i2＝－1，那么(－i)2＝－1，因此－1就有两个平方根i和－i了．方明进一步想到：∵(±2i)2＝(±2)2i2＝－4，∴－4的平方根是±2i；
∵(±3i)2＝(±3)2i2＝－9，∴－9的平方根是±3i.
请你根据上面提供的材料解答下列问题：
(1)求－16，－25，－3的平方根．
(2)求i3，i4，i5，i6，i7，i8，…的值，你发现有什么规律？将你发现的规律用文字表达出来．
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