9.1.2 不等式的性质
第1课时
教材认知
不等式的性质
语言叙述 式子表示
性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向__ __ 如果a＞b，那么a±c__ __b±c
性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向__ __ 如果a＞b，c＞0，那么ac__ __bc
性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向__ __ 如果a＞b，c＜0，那么ac__ __bc
微点拨
利用不等式的性质解不等式，常出现的错误
(1)只在一边进行了加减乘除的变形；
(2)不等式的两边加减乘除的数不相同；
(3)不等式的两边都乘或者除以同一个负数时，不等号的方向忘记改变．
基础必会
1．(西宁模拟)如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．a＋c＞b B．a＋c＞b－c C．ac－1＞bc－1 D．a(c－1)＜b(c－1)
2．(银川十三中月考)已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是( )
A．a＋c＞b＋c B．c－a＜c－b C．> D．a2＞ab＞b2
3．(新疆吐鲁番模拟)如果关于x的不等式(a＋1)x>a＋1的解集为x<1，那么a的取值范围是( )
A．a>0 B．a<0 C．a>－1 D．a<－1
4．(宁夏吴忠月考)若6x>－6y，则下列不等式中一定成立的是( )
A．x＋y>0 B．x－y>0 C．x＋y<0 D．x－y<0
5．(宁夏石嘴山质检)下列变形正确的是( )
A．若m＞n，则mc＞nc B．若m＞n，则mc2＞nc2
C．若m＞b，b＜c，则m＞c D．若m＋c2＞n＋c2，则m＞n
6．(新疆哈密模拟)设“”“”“”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么、、这三种物体按质量从大到小排列应为( )
A.、、 B．、、 C．、、 D．、、
7．(内蒙古包头模拟)下列叙述正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a
，则a>b
8．如果a＞b，那么a(a－b)__ __b(a－b)(填“＞”或“＜”).
9．(新疆伊犁模拟)已知下列条件，根据不等式的性质，说出a与b的关系．
(1)a－3>b－3. (2)＜. (3)－5a>－5b.
10．(宁夏吴忠盐池第五中学月考)根据不等式的基本性质，将下列各式化为x>a或x(1)x>－x＋6；(2)－x＋2>－1.
能力提升
1．(宁夏固原月考)若不等式(4－k)x＞－1的解集为x<，则k的取值范围是__ __．
2．式子a2x＞x(a2＋1)成立，则x满足的条件是__ __．
3．(兰州质检)现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变．请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0)；
(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0).
4．(内蒙古呼伦贝尔模拟)【提出问题】已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围．
9.1.2 不等式的性质
第2课时
教材认知
1．符号“≤”“≥”表示什么：
(1)像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的__ __关系．
(2)“x≥a”表示“__ __”或者“__ __”；“x≤a” 表示“__ __”或者“__ __”．
2．符号“≤”“≥”的读法：
(1)符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”．
(2)符号“≤”读作“__ __”，也可说是“__ __”．
3．数轴上表示“≤”“≥”：
数轴上表示“≤”“≥”画__ __圆点，表示取值范围__ __这一点．
微点拨
(1)注意 “≤，≥”与“＜，＞”的不同；
(2)注意实际问题的上限或者下限，是否包含该数值．
基础必会
1．(宁夏吴忠同心韦州中学质检)若a≤b，则①≤；②2c－a≥2c－b，上述结论中( )
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①、②都正确 D．①、②都错误
2．(新疆昌吉模拟)不等式1－2x≥0的解集是( )
A．x≥2 B．x≥ C．x≤2 D．x≤
3．x与y的差的5倍与2的和是一个非负数，可表示为( )
A．5(x－y)＋2＞0 B．5(x－y)＋2≥0
C．x－5y＋2≥0 D．5x－2y＋2≤0
4．(甘肃定西模拟)某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，若该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则可列不等式( )
A．150x＋30×4≤850 B．150x＋30×4＜850
C．150×4＋30x＜850 D．150×4＋30x≤850
5．(宁夏石嘴山第八中学月考)“x的2倍与x的相反数的差不小于1”，用不等式表示为( )
A．2x－x≥1 B．2x－(－x)≥1 C．2x－x>1 D．2x－(－x)>1
6．(青海海东模拟)若关于不等式－2x＋a≥2的解集如图所示，则a的值是( )
A．0 B．2 C．－2 D．4
7．(甘肃天水模拟)若关于x的一元一次方程x－m＋1＝0的解是非负数，则m的取值范围是( )
A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1
8.把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，列出不等式正确的是( )
A．9x－7＜11x B．7x＋9＜11x C．9x＋7＜11x D．7x－9＜11x
9．(宁夏吴忠质检)“m的2倍与8的和不大于2与m的和”用不等式表示为
__ __．
10．(内蒙古乌海模拟)某饮料瓶上有这样字样：Eatable Date 18 months.如果用x(单位：月)表示Eatable Date(保质期)，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为__ __．
11．(新疆克拉玛依模拟)将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
(1)a是正数；(2)b是非负数；(3)－1＜x≤4.
12．(兰州质检)用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
(1)3x≥2x＋3. (2)－x＞－1. (3)2x＋5＞3. (4)2－3x≥－1.
能力提升
1．(甘肃酒泉模拟)某市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3 km都需付8元车费)，超过3 km以后，每增加1 km，加收1.5元(不足1 km按1 km计).某人从甲地到乙地经过的路程是x km，出租车费为15.5元，那么x的最大值是( )
A．11 B．8 C．7 D．5
2．已知不等式－x≥2与不等式3x－a≤0解集相同，则a＝__ __．
3．(内蒙古赤峰模拟)(1)若x＞y，比较－3x＋5与－3y＋5的大小，并说明理由；
(2)若x＜y，且(a－3)x＞(a－3)y，求a的取值范围．
4．(乌鲁木齐模拟)阅读下列材料并解答问题：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 x 对应的点与原点的距离：
|x|＝|x－0| ，也就是说， 表示在数轴上数 x 与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为 |x1－x2| 表示在数轴上数 x1 和数 x2 对应的点之间的距离；
例1解方程 |x|＝2 ，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为 ±2 ，即该方程的解为 x＝±2 .
例2解不等式 |x－1|>2 ，如图，在数轴上找出
|x－1|＝2 的解，即到1的距离为2的点对应的数为 －1 ，3，则 |x－1|>2 的解集为 x<－1 或 x>3 .
例3解方程 |x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2 的距离之和为5的对应的 x 的值．
在数轴上，1和 －2 的距离为3，满足方程的 x 对应的点在1的右边或 －2 的左边，若 x 对应的点在1的右边，由图可以看出 x＝2 ；同理，若 x 对应的点在 －2 的左边，可得 x＝－3 ，故原方程的解是 x＝2 或 x＝－3.
回答问题：(只需直接写出答案)
①解方程 |x＋3|＝4； ②解不等式 |x－3|≥4； ③解方程 |x－3|＋|x＋2|＝8.
PAGE9.1.2 不等式的性质
第1课时
教材认知
不等式的性质
语言叙述 式子表示
性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向__不变__ 如果a＞b，那么a±c__＞__b±c
性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向__不变__ 如果a＞b，c＞0，那么ac__＞__bc
性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向__改变__ 如果a＞b，c＜0，那么ac__＜__bc
微点拨
利用不等式的性质解不等式，常出现的错误
(1)只在一边进行了加减乘除的变形；
(2)不等式的两边加减乘除的数不相同；
(3)不等式的两边都乘或者除以同一个负数时，不等号的方向忘记改变．
基础必会
1．(西宁模拟)如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是(D)
A．a＋c＞b B．a＋c＞b－c C．ac－1＞bc－1 D．a(c－1)＜b(c－1)
2．(银川十三中月考)已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是(D)
A．a＋c＞b＋c B．c－a＜c－b C．> D．a2＞ab＞b2
3．(新疆吐鲁番模拟)如果关于x的不等式(a＋1)x>a＋1的解集为x<1，那么a的取值范围是(D)
A．a>0 B．a<0 C．a>－1 D．a<－1
4．(宁夏吴忠月考)若6x>－6y，则下列不等式中一定成立的是(A)
A．x＋y>0 B．x－y>0 C．x＋y<0 D．x－y<0
5．(宁夏石嘴山质检)下列变形正确的是(D)
A．若m＞n，则mc＞nc B．若m＞n，则mc2＞nc2
C．若m＞b，b＜c，则m＞c D．若m＋c2＞n＋c2，则m＞n
6．(新疆哈密模拟)设“”“”“”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么、、这三种物体按质量从大到小排列应为(C)
A.、、 B．、、 C．、、 D．、、
7．(内蒙古包头模拟)下列叙述正确的是(D)
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a，则a>b
8．如果a＞b，那么a(a－b)__＞__b(a－b)(填“＞”或“＜”).
9．(新疆伊犁模拟)已知下列条件，根据不等式的性质，说出a与b的关系．
(1)a－3>b－3. (2)＜. (3)－5a>－5b.
【解析】(1)根据不等式的性质1，不等式的两边都加上3，得a>b.
(2)根据不等式的性质2，不等式的两边都乘3，得a(3)根据不等式的性质3，不等式的两边都除以(－5)，得a10．(宁夏吴忠盐池第五中学月考)根据不等式的基本性质，将下列各式化为x>a或x(1)x>－x＋6；(2)－x＋2>－1.
【解析】(1)在原不等式的两边都加x，得x>6；
(2)在原不等式的两边都减2，得－x>－3，再两边都乘以－3，可得x<9.
能力提升
1．(宁夏固原月考)若不等式(4－k)x＞－1的解集为x<，则k的取值范围是__k>4__．
2．式子a2x＞x(a2＋1)成立，则x满足的条件是__x＜0__．
3．(兰州质检)现有不等式的性质：
①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式)，乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变，乘的数(或整式)为负时不等号的方向改变．请解决以下两个问题：
(1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0)；
(2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0).
【解析】(1)a＞0时，a＋a＞a＋0，即2a＞a；a＜0时，a＋a＜a＋0，即2a＜a；
(2)a＞0时，由2＞1，得2·a＞1·a，即2a＞a；a＜0时，由2＞1，得2·a＜1·a，即2a＜a.
4．(内蒙古呼伦贝尔模拟)【提出问题】已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如取y表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同理再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．
【解决问题】解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2.又∵x＞1，∴y＋2＞1，∴y＞－1.又∵y＜0，∴－1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2，…②由①＋②得－1＋1＜y＋x＜0＋2.∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2.
【尝试应用】已知x－y＝－3，且x＜－1，y＞1，求x＋y的取值范围．
【解析】∵x－y＝－3，∴x＝y－3.
又∵x<－1，∴y－3<－1，∴y<2.
又∵y>1，
∴1同理得－2由①＋②得1－2∴x＋y的取值范围是－19.1.2 不等式的性质
第2课时
教材认知
1．符号“≤”“≥”表示什么：
(1)像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的__大小__关系．
(2)“x≥a”表示“__x>a__”或者“__x＝a__”；“x≤a” 表示“__x2．符号“≤”“≥”的读法：
(1)符号“≥”读作“大于或等于”，也可说是“不小于”．
(2)符号“≤”读作“__小于或等于__”，也可说是“__不大于__”．
3．数轴上表示“≤”“≥”：
数轴上表示“≤”“≥”画__实心__圆点，表示取值范围__包括__这一点．
微点拨
(1)注意 “≤，≥”与“＜，＞”的不同；
(2)注意实际问题的上限或者下限，是否包含该数值．
基础必会
1．(宁夏吴忠同心韦州中学质检)若a≤b，则①≤；②2c－a≥2c－b，上述结论中(C)
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①、②都正确 D．①、②都错误
2．(新疆昌吉模拟)不等式1－2x≥0的解集是(D)
A．x≥2 B．x≥ C．x≤2 D．x≤
3．x与y的差的5倍与2的和是一个非负数，可表示为(B)
A．5(x－y)＋2＞0 B．5(x－y)＋2≥0
C．x－5y＋2≥0 D．5x－2y＋2≤0
4．(甘肃定西模拟)某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，若该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则可列不等式(D)
A．150x＋30×4≤850 B．150x＋30×4＜850
C．150×4＋30x＜850 D．150×4＋30x≤850
5．(宁夏石嘴山第八中学月考)“x的2倍与x的相反数的差不小于1”，用不等式表示为(B)
A．2x－x≥1 B．2x－(－x)≥1 C．2x－x>1 D．2x－(－x)>1
6．(青海海东模拟)若关于不等式－2x＋a≥2的解集如图所示，则a的值是(A)
A．0 B．2 C．－2 D．4
7．(甘肃天水模拟)若关于x的一元一次方程x－m＋1＝0的解是非负数，则m的取值范围是(A)
A．m≥1 B．m＞1 C．m＜1 D．m≤1
8.把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，列出不等式正确的是(C)
A．9x－7＜11x B．7x＋9＜11x C．9x＋7＜11x D．7x－9＜11x
9．(宁夏吴忠质检)“m的2倍与8的和不大于2与m的和”用不等式表示为
__2m＋8≤2＋m__．
10．(内蒙古乌海模拟)某饮料瓶上有这样字样：Eatable Date 18 months.如果用x(单位：月)表示Eatable Date(保质期)，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为__x≤18__．
11．(新疆克拉玛依模拟)将下列不等式的解集在数轴上表示出来：
(1)a是正数；(2)b是非负数；(3)－1＜x≤4.
【解析】(1)因为a是正数，所以a＞0，表示在数轴上是：；
(2)因为b是非负数，所以b≥0，表示在数轴上为：；
(3)－1＜x≤4表示在数轴上为：．
12．(兰州质检)用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集．
(1)3x≥2x＋3. (2)－x＞－1. (3)2x＋5＞3. (4)2－3x≥－1.
【解析】(1)两边都减2x，得x≥3.把不等式的解集在数轴上表示为：
(2)两边都乘以－2，得x＜2.把不等式的解集在数轴上表示为：
(3)两边都减5，得2x＞－2.两边都除以2，得x>－1.把不等式的解集在数轴上表示为：
(4)两边都减2，得－3x≥－3，两边都乘以－，得x≤1.把不等式的解集在数轴上表示为：
能力提升
1．(甘肃酒泉模拟)某市出租车的收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3 km都需付8元车费)，超过3 km以后，每增加1 km，加收1.5元(不足1 km按1 km计).某人从甲地到乙地经过的路程是x km，出租车费为15.5元，那么x的最大值是(B)
A．11 B．8 C．7 D．5
2．已知不等式－x≥2与不等式3x－a≤0解集相同，则a＝__－9__．
3．(内蒙古赤峰模拟)(1)若x＞y，比较－3x＋5与－3y＋5的大小，并说明理由；
(2)若x＜y，且(a－3)x＞(a－3)y，求a的取值范围．
【解析】(1)∵x＞y，∴不等式两边同时乘以－3(不等式的性质3)得：－3x＜－3y，
∴不等式两边同时加上5得：5－3x＜5－3y；
(2)∵x＜y，且(a－3)x＞(a－3)y，∴a－3＜0，解得a＜3.即a的取值范围是a＜3.
4．(乌鲁木齐模拟)阅读下列材料并解答问题：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 x 对应的点与原点的距离：
|x|＝|x－0| ，也就是说， 表示在数轴上数 x 与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为 |x1－x2| 表示在数轴上数 x1 和数 x2 对应的点之间的距离；
例1解方程 |x|＝2 ，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为 ±2 ，即该方程的解为 x＝±2 .
例2解不等式 |x－1|>2 ，如图，在数轴上找出
|x－1|＝2 的解，即到1的距离为2的点对应的数为 －1 ，3，则 |x－1|>2 的解集为 x<－1 或 x>3 .
例3解方程 |x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2 的距离之和为5的对应的 x 的值．
在数轴上，1和 －2 的距离为3，满足方程的 x 对应的点在1的右边或 －2 的左边，若 x 对应的点在1的右边，由图可以看出 x＝2 ；同理，若 x 对应的点在 －2 的左边，可得 x＝－3 ，故原方程的解是 x＝2 或 x＝－3.
回答问题：(只需直接写出答案)
①解方程 |x＋3|＝4； ②解不等式 |x－3|≥4； ③解方程 |x－3|＋|x＋2|＝8.
【解析】①解方程|x＋3|＝4，容易看出，在数轴上与－3的距离为4的点的对应数为－7，1，
即该方程的解为x＝－7或x＝1.
②解不等式|x－3|≥4，如图，在数轴上找出|x－3|＝4的解，即到3的距离为4的点对应的数为－1，7，则|x－3|≥4的解集为x≤－1或x≥7.
③|x－3|＋|x＋2|＝8，当x<－2时，3－x－x－2＝8，解得，x＝－3.5；
当－2≤x≤3时，3－x＋x＋2＝8，无解．
当x>3时，x－3＋x＋2＝8，解得，x＝4.5；
故|x－3|＋|x＋2|＝8的解是x＝－3.5或x＝4.5.
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