人教版九年级数学下册第27章相似同步训练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册第27章相似同步训练（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 572.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-28 13:39:31 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学下册
第27章《相似》同步训练
一、单选题
1．如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
2．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）cm．
A． B．5 C． D．8
4．在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．只有（1）中的与△ABC相似
B．只有（2）中的与△ABC相似
C．都与△ABC相似
D．都与△ABC不相似
5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．在下列图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，添加下列一个条件，不能使∽的是
A． B． C． D．
8．如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D在边AB上，且AD=1，点E是边B上的一动点，作射线ED．射线ED绕点E顺时针旋转60°得到射线EF，交AC于点F，则点E从B→C的运动过程中，CF的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，在△ABC中，以AB为直径作， 交AC于点E ，BC于点D ，CD＝BD ，则（ ）
A．AC＝BC B． C．AB＝DE D．BC BD＝AB CE
10．如图，、分别是的边、上的点，且，若，则的值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，，，于点D，那么与的面积之比为________．
12．在和中，，，，，则__时，和相似．
13．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似．
14．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为，木棒上沾油部分的长为，桶高为，那么桶内油面的高度是________．
15．点A为y轴正半轴上一点，A，B，两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点．若点A的坐标为，且，则所有满足条件的直线的函数解析式为：_______．
三、解答题
16．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：．
17．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．求证：
（1）DB＝DF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
19．如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，，是的直径．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径是，，求的长．
20．如图：已知⊙M经过O点，并且⊙M与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程的两根．
（1）求线段OA，OB的长；
（2）已知点C是劣弧OA的中点，连结BC交OA于D．
① 求证：；
② 求点C的坐标；
21．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D、F两处相隔1000步（1丈10尺，1步6尺），并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退123步的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退127步的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少步？（提示：连接EC并延长交AB于点K，用AK与常数的积表示KC和KE．）（本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》，后作为唐代的《海岛算经》中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何．唐代的1尺约等于现在的．）
22．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．
（1）求AD的长度．
（2）已知DE＝，求BF的长度．
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①点O与△APE的位置关系是 ，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ ，AE达到最大值，最大值是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．B
5．C
6．D
7．A
8．C
9．D
10．D
11．
12．或
13．1或
14．48
15．或
16．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE
∴，，
∴，
即．
17．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，正方形的边长为4，
∴，，
∴．
18．
解：（1）∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DBE=∠ACB，
∵∠BDC=∠BAC，
∴，
∵AB＝AC，
∴DB＝DF；
（2）∵DB＝DF， AB＝AC，，
∠F=∠ACB，
∵∠AEB=∠ACB，
∴∠F=∠AEB，
∴AE∥DF，
又∵BE∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
19．
（1）证明：连接，
与的边相切于点，是的直径，
，
，
，，
，
，
，
在与中，，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
设
或（舍去）
，，
，
，
，
由（1）知，，
．
20．
（1）
OA＞OB
（2）①∵点C是劣弧OA的中点，
∴
∴∠OBC=∠DOC，
又∵∠C=∠C，
∴△OCB∽△DCO．
∴
即；
②连接MC交OA于点E，连接,
∵点C是劣弧OA的中点，
ME⊥OA，
，
∵OA=12，OB=5，∠BOA=90°，
∴AB是⊙M的直径，由勾股定理得AB=13，
根据勾股定理，得
∴CE=6.5-2.5=4，即C（6，-4）；
21．
解：
由题意可知，
又∵，，
∴，，
∴ ， ，
∵丈＝5步，步，步，
∴ ， ，
∴ ，
∴步， ，
∴步，
答：山峰的高度AB为1255步，它和标杆CD的水平距离BD为30750步．
22．
（1）如图，连接BD，
在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵⊙O半径为5，
∴BD＝10，
∴AD＝ ＝6；
（2）如图，过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N，
在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠EMG＝∠D＝90°，
∴四边形ADMN是矩形，
∴∠EGM+∠MEG＝90°，
∴∠AED+∠MEG＝90°，
∴∠EGM＝∠AED，
在△AEG中，∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠EGF＝45°，
∴AE＝EG，
∴△AED≌△EGM（AAS），
∴MG＝DE＝ ，EM＝AD＝6，
∴AN＝DE+EM＝ ，NG＝MN﹣MG＝ ，
∵MNADBC，
∴△ABF∽△ANG，
∴ ，
解得BF＝2；
（3）△AEF的面积存在最小值，理由如下：
过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°，
∴EP＝ r，IQ＝r，
∵IA+IQ≥AD，
∴r+r≥6，
∴r≥12﹣6 ，
∴S△AEF＝AB EP＝4r，
∴S△AEF≥4（12﹣6），
∴S△AEF ﹣48，
∴△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48．
23．
解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△APE∽△BCP，
∴，即，
解得：AE；
故答案为：；
（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：
证明：如图1，
取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQPE，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，
∴AQPE，
∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，
∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，
即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），
故答案为：点O在△APE的外接圆上；
②连接OA、AC，如图2所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC4，
∵A、P、O、E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OAAC＝2，
即点O经过的路径长为2；
（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得：△APE∽△BCP，
∴，
∴，
∴AE（x﹣2）2+1，
∴x＝2时，AE的最大值为1，
即当AP＝2时，AE的最大值为1．
故答案为：2，1．
答案第1页，共2页
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第27章《相似》同步训练
一、单选题
1．如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
2．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）cm．
A． B．5 C． D．8
4．在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．只有（1）中的与△ABC相似
B．只有（2）中的与△ABC相似
C．都与△ABC相似
D．都与△ABC不相似
5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．在下列图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，添加下列一个条件，不能使∽的是
A． B． C． D．
8．如图，等边三角形ABC中，AB=3，点D在边AB上，且AD=1，点E是边B上的一动点，作射线ED．射线ED绕点E顺时针旋转60°得到射线EF，交AC于点F，则点E从B→C的运动过程中，CF的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
9．如图，在△ABC中，以AB为直径作， 交AC于点E ，BC于点D ，CD＝BD ，则（ ）
A．AC＝BC B． C．AB＝DE D．BC BD＝AB CE
10．如图，、分别是的边、上的点，且，若，则的值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，，，于点D，那么与的面积之比为________．
12．在和中，，，，，则__时，和相似．
13．如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD中，E是AB的中点，点P从点D出发沿射线DC以每秒1个单位长度的速度运动，过点P作PF⊥DE于点F，当运动时间为______秒时，以P、F、E为顶点的三角形与△AED相似．
14．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为，木棒上沾油部分的长为，桶高为，那么桶内油面的高度是________．
15．点A为y轴正半轴上一点，A，B，两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线于P，Q两点．若点A的坐标为，且，则所有满足条件的直线的函数解析式为：_______．
三、解答题
16．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：．
17．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．求证：
（1）DB＝DF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
19．如图，与的边相切于点，与、边分别交于点、，，是的直径．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径是，，求的长．
20．如图：已知⊙M经过O点，并且⊙M与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程的两根．
（1）求线段OA，OB的长；
（2）已知点C是劣弧OA的中点，连结BC交OA于D．
① 求证：；
② 求点C的坐标；
21．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D、F两处相隔1000步（1丈10尺，1步6尺），并且AB，CD和EF在同一平面内．从标杆CD后退123步的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF后退127步的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少步？（提示：连接EC并延长交AB于点K，用AK与常数的积表示KC和KE．）（本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著《重差》，后作为唐代的《海岛算经》中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何．唐代的1尺约等于现在的．）
22．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．
（1）求AD的长度．
（2）已知DE＝，求BF的长度．
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知正方形ABCD的边长为4、点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．
（1）若AP＝1，则AE＝ ；
（2）①点O与△APE的位置关系是 ，并说明理由；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
（3）在点P从点A到点B的运动过程中，线段AE的大小也在改变，当AP＝ ，AE达到最大值，最大值是 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．B
5．C
6．D
7．A
8．C
9．D
10．D
11．
12．或
13．1或
14．48
15．或
16．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE
∴，，
∴，
即．
17．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
又∵，正方形的边长为4，
∴，，
∴．
18．
解：（1）∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBE，
又∵∠ADB=∠ACB，
∴∠DBE=∠ACB，
∵∠BDC=∠BAC，
∴，
∵AB＝AC，
∴DB＝DF；
（2）∵DB＝DF， AB＝AC，，
∠F=∠ACB，
∵∠AEB=∠ACB，
∴∠F=∠AEB，
∴AE∥DF，
又∵BE∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
19．
（1）证明：连接，
与的边相切于点，是的直径，
，
，
，，
，
，
，
在与中，，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
设
或（舍去）
，，
，
，
，
由（1）知，，
．
20．
（1）
OA＞OB
（2）①∵点C是劣弧OA的中点，
∴
∴∠OBC=∠DOC，
又∵∠C=∠C，
∴△OCB∽△DCO．
∴
即；
②连接MC交OA于点E，连接,
∵点C是劣弧OA的中点，
ME⊥OA，
，
∵OA=12，OB=5，∠BOA=90°，
∴AB是⊙M的直径，由勾股定理得AB=13，
根据勾股定理，得
∴CE=6.5-2.5=4，即C（6，-4）；
21．
解：
由题意可知，
又∵，，
∴，，
∴ ， ，
∵丈＝5步，步，步，
∴ ， ，
∴ ，
∴步， ，
∴步，
答：山峰的高度AB为1255步，它和标杆CD的水平距离BD为30750步．
22．
（1）如图，连接BD，
在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵⊙O半径为5，
∴BD＝10，
∴AD＝ ＝6；
（2）如图，过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N，
在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠EMG＝∠D＝90°，
∴四边形ADMN是矩形，
∴∠EGM+∠MEG＝90°，
∴∠AED+∠MEG＝90°，
∴∠EGM＝∠AED，
在△AEG中，∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠EGF＝45°，
∴AE＝EG，
∴△AED≌△EGM（AAS），
∴MG＝DE＝ ，EM＝AD＝6，
∴AN＝DE+EM＝ ，NG＝MN﹣MG＝ ，
∵MNADBC，
∴△ABF∽△ANG，
∴ ，
解得BF＝2；
（3）△AEF的面积存在最小值，理由如下：
过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°，
∴EP＝ r，IQ＝r，
∵IA+IQ≥AD，
∴r+r≥6，
∴r≥12﹣6 ，
∴S△AEF＝AB EP＝4r，
∴S△AEF≥4（12﹣6），
∴S△AEF ﹣48，
∴△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48．
23．
解：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，
∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，
∴∠AEP＝∠BPC，
∴△APE∽△BCP，
∴，即，
解得：AE；
故答案为：；
（2）①点O在△APE的外接圆上，理由是：
证明：如图1，
取PE的中点Q，连接AQ，OQ，
∵∠POE＝90°，
∴OQPE，
∵△APE是直角三角形，
∴点Q是Rt△APE外接圆的圆心，
∴AQPE，
∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，
∴O在以Q为圆心，以OQ为半径的圆上，
即点O在△APE的外接圆上；（到圆心的距离等于半径的点必在此圆上），
故答案为：点O在△APE的外接圆上；
②连接OA、AC，如图2所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC4，
∵A、P、O、E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OAAC＝2，
即点O经过的路径长为2；
（3）设AP＝x，则BP＝4﹣x，
由（1）得：△APE∽△BCP，
∴，
∴，
∴AE（x﹣2）2+1，
∴x＝2时，AE的最大值为1，
即当AP＝2时，AE的最大值为1．
故答案为：2，1．
答案第1页，共2页
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