湘教版数学八年级下册同步课时作业 1.1　第2课时　含30 °角的直角三角形的性质及其应用（word版、含答案）

第2课时　含30 °角的直角三角形的性质及其应用
知识点 1　含30 °角的直角三角形的性质
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC的长为(　　)
A．6 B．6 C．6 D．12
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则(　　)
A．AB＝2AC B．AC＝2AB
C．AB＝AC D．AB＝3AC
3．如图，一棵垂直于地面生长的大树在一次强台风中从离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵大树折断前的高度是(　　)
A．10米　 B．15米　 C．25米　 D．30米
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D为斜边AB的中点．若AC＝5，则CD的长为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB于点D.若
BD＝1，则BC＝________，AD＝________．
7．教材练习T2变式如图是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它是底角为30°的等腰三角形，已知中柱BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，测得BE＝1 m，求AB的长．
知识点 2　直角三角形中30 °角的判定
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝6，则∠B的度数为(　　)
A．30° 　　　　　B．45°
C．60° 　　　　　D．75°
9．在△ABC中，如果∠A＋∠B＝∠C，且AC＝AB，那么∠B＝________°.
10．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，已知∠1＝∠2，AD＝BD＝4，CE⊥AD于点E，2CE＝AC，求CD的长．
11．等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是(　　)
A．30° B．60°
C．30°或150° D．不能确定
12．如图，已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，D为OC上一点，过点D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F.若DE＝2，则DF＝________．
13．已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，M，D分别为AB，MB的中点．
求证：CD⊥AB.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，∠BAD＝30°，且
∠ADC＝60°.
求证：(1)AD＝BD；
(2)CD＝2BD.
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18 cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动．动点Q从点B出发，沿BC向点C运动．如果动点P以2 cm/s、Q以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t s，当点Q到达点C时，两点同时停止运动．解答下列问题：
(1)t＝________时，△PBQ是等边三角形；
(2)点P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．
第2课时　含30 °角的直角三角形的性质及其应用
1．A
2．A　因为∠C＝90°，∠A＝60°，所以∠B＝30°，所以AB＝2AC.
3．B　
4．B　由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可知AC＝AB.又根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD＝AB，所以AC＝CD.故选B.
5．C　根据垂线段最短，可知AP≥3.
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，
∴AB＝6，
∴AP≤6.因此3≤AP≤6.故选C.
6．2　3　∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°.
∵CD⊥AB于点D，∠B＝60°，∴∠DCB＝30°，
∴BD＝BC，即BC＝2BD＝2.
又∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝AB，∴AB＝2BC＝4，
∴AD＝AB－BD＝4－1＝3.
7．解：∵BD⊥AC，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠DEB＝∠AED＝90°.
又∵∠A＝30°，
∴∠ADE＝90°－30°＝60°，AB＝2BD，
∴∠BDE＝90°－60°＝30°，∴BD＝2BE.
∵BE＝1 m，∴AB＝2BD＝4BE＝4 m.
8．C
9．30　∵∠A＋∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°.
又∵AC＝AB，∴∠B＝30°.
10．解：∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中，
∵2CE＝AC，∴∠1＝30°.
∵∠1＝∠2，∴∠2＝30°.
∵AD＝BD＝4，∴∠B＝∠2＝30°，
∴∠ACD＝180°－30°×3＝90°，
∴在Rt△ACD中，CD＝AD＝2.
11．C　本题分两种情况讨论：
(1)如图①，当高BD在三角形内部时，
∵BD＝AB，∠ADB＝90°，∴∠A＝30°；
(2)如图②，当高BD在三角形外部时，
∵BD＝AB，∠ADB＝90°，∴∠DAB＝30°，
∴∠BAC＝180°－∠DAB＝150°.故选C.
12．4　∵∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，∴∠EOD＝∠DOF＝30°.
∵DE⊥OA，∴∠OED＝90°.在Rt△EOD中，∠EOD＝30°，∴OD＝2DE＝4.
在Rt△OEF中，∠EOF＝60°，∴∠OFE＝30°，∴∠OFE＝∠DOF，∴DF＝OD＝4.
13．证明：∵∠ACB＝90°，M为AB的中点，
∴CM＝AB.
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴CB＝AB，∴CM＝CB.
又∵D为MB的中点，
∴CD⊥MB，即CD⊥AB.
14．证明：(1)∵∠ADC＝60°，∠BAD＝30°，
∴∠ABD＝∠ADC－∠BAD＝60°－30°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD.
(2)∵∠ABD＝30°，AB＝AC，
∴∠C＝∠ABD＝30°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－60°－30°＝90°.
又∵∠C＝30°，AD＝BD，
∴CD＝2AD＝2BD.
15．解：(1)12　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18 cm，
∴AB＝36 cm，∠B＝60°.
由题意，知PB＝(36－2t)cm，BQ＝t cm.
若△PBQ为等边三角形，
∵∠B＝60°，则PB＝BQ即可，即36－2t＝t，
解得t＝12.故填12.
(2)当t的值为9或时，△PBQ是直角三角形．
理由如下：
∵△PBQ是直角三角形，
∴∠PQB＝90°或∠QPB＝90°.
∵∠B＝60°，∴∠QPB＝30°或∠PQB＝30°，
∴PB＝2BQ或BQ＝2PB.
当PB＝2BQ时，有36－2t＝2t，解得t＝9；
当BQ＝2PB时，有t＝2(36－2t)，解得t＝.
故当t的值为9或时，△PBQ是直角三角形．