湘教版数学八年级下册同步课时作业 1.4　第1课时　角平分线的性质（word版、含答案）

1.4　第1课时　角平分线的性质
知识点 1　角平分线的性质定理
1．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　)
A．2 B．3 C. D．4
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC.若BD＝5，BC＝4，则点D到边AB的距离为________．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是________．
5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.若S△ABC＝5，DE＝1，AB＝8，求AC的长．
知识点 2　角平分线的性质定理的逆定理
6．如图，DC⊥AC于点C，DB⊥AB于点B，并且DB＝DC，则∠1，∠2的大小关系是(　　)
A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2 D．不能确定
7．如图，已知PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，那么PC和PD应满足__________，才能保证OP为∠AOB的平分线．
8．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E，F，CE与BF相交于点D，且BD＝CD.
求证：点D在∠BAC的平分线上．
9．如图所示，已知点P，D，E分别在OC，OA，OB上，有下列推理：①若OC平分∠AOB，则PD＝PE；②若OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD＝PE；③若PD⊥OA，PE⊥OB，则PD＝PE.其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是60，70，80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于(　　)
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3
C．3∶7∶4 D．6∶7∶8
11.如图，已知BD是∠ABC的平分线，ED是线段BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，∠ABD＝∠DBC.若P是BC边上的一个动点，则DP长的最小值为________．
13.如图所示，已知MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，AM＝BM，连接AB.若∠MAB＝25°，则∠AOB的度数是________．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.
求证：(1)DE＝DC；
(2)BD＝FD.
15．如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB交AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G，则BF与CG的大小如何？证明你的结论．
1．4　第1课时　角平分线的性质
1．A　如图，过点P作PE⊥OA于点E.∵P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD＝2.故选A.
2．C　如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵AC＝8，DC＝AD，
∴CD＝8×＝2.
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，
即点D到AB的距离为2.
故选C.
3．3　过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠C＝90°，BD＝5，BC＝4，
∴CD＝＝3.
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC＝3.
4．30　过点D作DE⊥AB于点E.由题意得AP是∠BAC的平分线．
又∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD.
∵AB＝15，CD＝DE＝4，
∴S△ABD＝AB·DE＝×15×4＝30.
5．解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝1.
又∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，AB＝8，
∴5＝×8×1＋×AC×1，∴AC＝2.
6．B　7.PC＝PD
8．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
9．B　只有②正确．
10．D
11．D　∵ED是线段BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠C＝∠DBC.
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝6.由题意知DE＝AD＝3，
∴BE＝＝3 ，
∴CE＝BE＝3 .
故选D.
12．4　当DP⊥BC时，DP有最小值，根据角平分线的性质知，其最小值为4.
13．50°
14．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC.
(2)在△BDE和△FDC中，
∴△BDE≌△FDC(SAS)，∴BD＝FD.
15．解：BF＝CG.
证明：连接EB，EC.
∵AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴EF＝EG.
∵DE⊥BC于点D，D是BC的中点，
∴EB＝EC，
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)，
∴BF＝CG.