湘教版数学八年级下册同步课时作业 1.1　第1课时　直角三角形的性质和判定（word版、含答案）

1．1　第1课时　直角三角形的性质和判定
知识点 1　直角三角形的两个锐角互余
1．[2020湘西州改编】如图所示，直线AE∥BC，BA⊥AC.若∠ABC＝54°，则
∠C＝______°.又因为AE∥BC，所以∠EAC＝∠________＝________°.
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，CD⊥AB于点D，则
∠ACD＝________°.
3．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AM，BN所夹的钝角∠AOB的度数为________．
知识点 2　有两个角互余的三角形是直角三角形
4．在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝54°，那么∠B＝________°，此三角形是________三角形．
5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
6．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠B.
求证：△ABC是直角三角形．
知识点 3　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7．若一个直角三角形的斜边以及斜边上的中线的长度和为15 cm，则这个直角三角形斜边上的中线长为________．
8．2020岳阳如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝________°.
9．[教材练习T2变式]如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于点H，E为AC的中点．如果AC＝6，那么EH＝________．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是BC边的中点，
∠A＝55°，求∠DEC的度数．
11．2020长沙如图，一块三角尺的60°角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线FD，GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH于点E，则∠ECB的度数为(　　)
A．60° B．45° C．30° D．25°
12．如图所示，一根长2a的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，则木棍滑动的过程中，点P到点O的距离(　　)
A．不变，为2a B．不变，为a
C．无法判断 D．变大
13．如图，已知在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一个动点，过点D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是__________．
14．如图，M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD＝BM，DM与CB的延长线交于点E.
求证：∠E＝∠A.
15．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的高，M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为N.
(1)求证：ME＝MD；
(2)如果BD平分∠ABC，求证：AC＝4EN.
1．1　第1课时　直角三角形的性质和判定
1．36　C　36
2．25　∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴∠B＋∠A＝90°，∠A＋∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝25°.
3．135°　∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°.
又∵AM，BN分别为∠BAC，∠ABC的平分线，
∴∠BAM＋∠NBA＝45°，
∴∠AOB＝180°－(∠BAM＋∠NBA)＝135°.
故答案为135°.
4．90　直角
5．D　A选项，∠A＋∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，
故△ABC为直角三角形．
同理，B，C选项中的△ABC均为直角三角形．
D选项，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，由此可知三个角中没有90°的角，故△ABC不是直角三角形．故选D.
6．证明：∵AD⊥BC，∴∠1＋∠C＝90°.
∵∠1＝∠B，∴∠B＋∠C＝90°，
∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形．
7．5 cm
8．70　∵在Rt△ABC中，∠A＝20°，
∴∠B＝70°.∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝70°.
9．3　∵AB∥CD，
∴∠CAB＋∠ACD＝180°.
∵AH平分∠CAB，CH平分∠ACD，
∴∠CAH＋∠ACH＝∠CAB＋∠ACD＝90°，
∴∠AHC＝90°，∴△AHC是直角三角形．
∵E为AC的中点，
∴HE为Rt△AHC斜边AC上的中线，
∴AC＝2EH＝6，∴EH＝3.
10．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝55°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－55°＝35°.
∵CD⊥AB，E是BC边的中点，
∴DE＝CE＝BE＝BC，∴∠B＝∠BDE＝35°，
∴∠DEC＝∠B＋∠BDE＝35°＋35°＝70°.
11．C　∵AB平分∠CAD，∴∠CAD＝2∠BAC＝120°.
又∵FD∥GH，∴∠ACE＝180°－∠CAD＝180°－120°＝60°.
又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝90°－60°＝30°.故选C.
12．B　
13．014．证明：∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD＝BM，
∴CD＝CM＝BM＝AM，
∴∠A＝∠DCM，∠CDM＝∠DMC.
∵∠DCM＋∠CDM＋∠DMC＝180°，
∴∠A＝∠DCM＝180°－2∠CDM.
∵∠E＋∠CDM＝90°，∴∠CDM＝90°－∠E，
∴∠A＝180°－2(90°－∠E)，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A.
15．证明：(1)∵BD是边AC上的高，∴∠BDC＝90°.
∵M是BC的中点，∴MD＝BC.
同理得ME＝BC，∴ME＝MD.
(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵BD是边AC上的高，∴∠ADB＝∠CDB＝90°.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，∴AD＝CD.
∵CE是边AB上的高，∴∠CEA＝90°，∴AC＝2DE.
∵ME＝MD，MN⊥DE，∴DE＝2EN，
∴AC＝4EN.