湘教版数学八年级下册同步课时作业 1.4　第2课时　角平分线的性质的综合应用（word版、含答案）

第2课时　角平分线的性质的综合应用
知识点　角平分线性质的综合应用
1．如图，已知AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，则AD⊥________．又PE⊥BC于点E，则根据角平分线的性质定理得PA＝________，PD＝________．若PE＝4，则AD＝________．
2．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离PE＝3，N是OB上的任意一点，则线段PN长的取值范围为(　　)
A．PN<3 B．PN>3
C．PN≥3 D．PN≤3
3．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，连接AB.下列判断错误的是(　　)
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC的长为(　　)
A. B．2 C．3 D.＋2
5．如图，已知在四边形ABCD中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　)
A．24 B．30 C．36 D．42
6．如图所示，已知△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是________．
7．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是________．
8．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝________．
9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
求证：(1)AM⊥DM；
(2)M为BC的中点．
10．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E.若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(　　)
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的平分线
D．组成∠E的平分线所在的直线(点E除外)
11．如图，O是△ABC内的一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离相等．若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为(　　)
A．70° B．120° C．125° D．130°
12．如图，在△ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，有下列三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS.其中正确的是(　　)
A．①②③ B．①②
C．① D．①③
13．如图，直线a，b，c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　)
A．一处 B．两处
C．三处 D．四处
14．已知：如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F.求证：DE＝DF.
15．已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B，D分别在AN，AM上．
(1)如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，请你探索线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明．
(2)如图②，若∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
第2课时　角平分线的性质的综合应用
1．CD　PE　PE　8
2．C　如图，过点P作PM⊥OB于点M.
∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，
∴PM＝PE＝3，∴PN≥3.
故选C.
3．D
4．C　
5．B　如图，过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴DH＝CD＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DH＋BC·CD＝×6×4＋×9×4＝30.
故选B.
6．30
7．4　∵CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝2，
∴DF＝2，∴△BCD的面积为×2×4＝4.
故填4.
8．2　如图，过点E作EH⊥OA于点H.
∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EH⊥OA于点H，
∴EH＝EC＝1，∠AOB＝30°.
∵EF∥OB，
∴∠EFH＝∠AOB＝30°，∠FEO＝∠BOE，
∴EF＝2EH＝2，∠FEO＝∠FOE，
∴OF＝EF＝2.
9．证明：(1)∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，
∴∠MAD＋∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
(2)如图，过点M作MN⊥AD于点N.
∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD.
又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，MN⊥AD，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，即M为BC的中点．
10．D　∵AB＝CD，S△PAB＝S△PCD，∴只需使这两个三角形中AB，CD边上的高相等即可，显然这样的点组成∠E的平分线所在的直线(点E除外)．
11．C　12.B
13．D　由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足题意；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点共有三个，所以可供选择的地址有四处．
14．证明：如图所示，连接AD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠EAF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
15．解：(1)AD＋AB＝AC.
证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，
∴∠CAD＝∠CAB＝60°.
又∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝30°，
则AD＝AB＝AC(直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半)，
∴AD＋AB＝AC.
(2)仍成立．
证明：如图，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F.
∵AC平分∠MAN，CE⊥AM，CF⊥AN，
∴CE＝CF(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABC.
又∵∠CED＝∠CFB＝90°，CE＝CF，
∴△CED≌△CFB(AAS)，
∴ED＝FB，
∴AD＋AB＝AE－ED＋AF＋FB＝AE＋AF.
由(1)知AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC.