湘教版数学八年级下册 2.2.1 第2课时 平行四边形的对角线的性质 同步课时作业（word版含答案）

第2课时　平行四边形的对角线的性质
知识点 1　平行四边形的对角线的性质
1．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(　　)
A．AO＝OD B．AO⊥OD
C．AO＝OC D．AO⊥AB
2.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知S△AOB＝8，则△BOC的面积为(　　)
A．8 B．16 C．4 D．10
3．如图，在 ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为(　　)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
4．[教材例3变式]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为________．
5．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝2AB，E是OA的中点．连接BE.求证：BE⊥AC.
知识点 2　平行四边形的对角线性质与边角性质的综合运用
6．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，则CD＝________，又△OCD的周长为23，则OC＋OD＝________；根据平行四边形对角线互相平分的性质得 ABCD的两条对角线长的和是________．
7．如图，在 ABCD中，全等三角形共有(　　)
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
8．如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F.求证：OE＝OF.
9．2020益阳如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是(　　)
A．10 B．8 C．7 D．6
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为(　　)
A．28 B．24 C．21 D．14
11．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为(　　)
A. B. C. D.
12．如图，已知 ABCD的顶点A，C和 EBFD的顶点E，F在同一条直线上．
求证：AE＝CF.
13．如图所示，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝2.求BD的长．
14．探究：如图①，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)直线EF是否将 ABCD的面积二等分？若是，请说明理由；
(3)应用：张大爷家有一块平行四边形的菜园，菜园中有一口水井P，如图②所示，张大爷计划把菜园平均分成面积相等的两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，即两块地的分割线经过点P，请你作图帮助张大爷把菜园分开．
　　
第2课时　平行四边形的对角线的性质
1．C　2.A　3.A
4．21　[解析] △OAB的周长＝AO＋BO＋AB，只要求得AO和BO的长即可．根据平行四边形的对角线互相平分可得出答案．
5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，即BD＝2OB.
又∵BD＝2AB，
∴AB＝OB.
又∵E是OA的中点，
∴BE⊥AC.
6．5　18　36　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，BD＝2OD，AC＝2OC.
∵△OCD的周长为23，
∴OD＋OC＝23－CD＝23－5＝18.
∵BD＝2OD，AC＝2OC，
∴ ABCD的两条对角线长的和为BD＋AC＝2(OD＋OC)＝2×18＝36.
7．C　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OD＝OB，OA＝OC.
∵OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB(SAS)．
同理可得出△AOB≌△COD(SAS)．
∵BC＝DA，CD＝AB，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB(SSS)；
同理可得△ACD≌△CAB(SSS)．
因此共有4对全等三角形．
故选C.
8．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠EAO＝∠FCO.
∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE＝OF.
9．D　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4.在△AOB中，4－3＜AB＜4＋3，即1＜AB＜7，∴AB的长可能为6.故选D.
10．D　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵ ABCD的周长为28，∴AB＋AD＝14.
∵OE⊥BD，
∴OE所在的直线是线段BD的垂直平分线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋AD＝14.故选D.
11．D
12．证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD，四边形EBFD都是平行四边形，
∴AO＝CO，EO＝FO，
∴AO－EO＝CO－FO，即AE＝CF.
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2，
∴AD∥BC，OB＝OD，OA＝OC＝1，
∴∠ACB＝∠DAC＝45°.
∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝AC＝2.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB＝，
∴BD＝2OB＝2 .
14．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF.
(2)直线EF将 ABCD的面积二等分．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD，∴S△AOB＝S△COD.
由(1)可知，△AOE≌△COF，
且同(1)可证△DOE≌△BOF，
∴S△AOE＝S△COF，S△DOE＝S△BOF，
∴S四边形AEFB＝S△AOB＋S△AOE＋S△BOF＝S△COD＋S△COF＋S△DOE＝S四边形DEFC，
∴直线EF将 ABCD的面积二等分．
(3)如图，连接AC，BD交于点O，过点O，P作直线OP即可把平行四边形的菜园分成面积相等的两块．