湘教版数学八年级下册 2.5.1　矩形的性质 同步课时作业（word版含答案）

2.5.1　矩形的性质
知识点 1　矩形的定义
1．已知四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：____________，可使它成为矩形．
2．如图，AD是等腰三角形ABC底边BC上的中线，O是AC的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，CE.求证：四边形ADCE是矩形．
知识点 2　矩形的性质
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是(　　)
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．OA＝AD
4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是(　　)
A．20° B．40° C．80° D．100°
5．2020怀化如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△ABO的面积为2，则矩形ABCD的面积为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
6．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为________．
　　　
7．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
8．如图，E是矩形ABCD的边DC上一点，AB＝AE＝4，BC＝2，则∠EBC的度数为(　　)
A．10° B．25° C．15° D．20°
9．如图，P是矩形ABCD的边AD上一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　)
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB，且交OB于点E，则AD的长为________．
11．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积S.
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始以2 cm/s的速度向点B移动，点Q沿DA边从点D开始以1 cm/s的速度向点A移动．如果P，Q两点同时出发，用t(s)表示移动时间(0≤t≤6)．
(1)直接写出AQ，PB的长(用含t的式子表示)；
(2)当t为何值时，△APQ是等腰直角三角形？
(3)求四边形APCQ的面积，并写出一个与计算结果有关的结论．
2．5.1　矩形的性质
1．答案不唯一，如∠A＝90°　[解析] 有一个角是直角的平行四边形叫矩形．
2．证明：∵O是AC的中点，∴AO＝OC.
又∵OE＝OD，∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AD是等腰三角形ABC底边BC上的中线，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
3．D　[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，
∴OA＝OB，∴选项A，B，C正确．故选D.
4．C
5．C　[解析] ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8.
故选C.
6．2.5　[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD，
∴DO＝BD＝5.
∵P，Q分别是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ＝DO＝2.5.
故答案为2.5.
7．[解析] (1)由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
(2)由(1)中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．
解：(1)证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，
∠A＝∠B＝90°.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE(SAS)．
(2)由(1)，知△ADE≌△BCE，
∴DE＝CE.
在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝AB＝3，
由勾股定理，得DE＝＝＝5.
又∵AB＝CD＝6，
∴△CDE的周长为2DE＋CD＝2×5＋6＝16.
8．C　[解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠D＝∠ABC＝90°.∵AB＝AE＝4，
∴AD＝AE，∴∠DEA＝30°，∴∠EAB＝30°.∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝75°，
∴∠EBC＝90°－75°＝15°.
9．A　[解析] 如图，连接OP，过点P分别作PE⊥OA于点E，PF⊥OD于点F.
∵矩形的两条边AB，BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，
∴OA＝OD＝5，
∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，
∴S△AOD＝S△ACD＝12.
∵S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝OA·PE＋OD·PF＝×5PE＋×5PF＝×5(PE＋PF)＝12，
∴PE＋PF＝4.8.故选A.
10．3
11．解：(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB.
∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°，∴∠DFA＝∠B.
又∵AD＝EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.
(2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠FDC＝∠DAF＝30°，
∴在Rt△ADF中，AD＝2DF.
由(1)知DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵BE＝DF，
∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(SAS)，
∴AE＝CF.
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
由平行四边形的性质可知S矩形ABCD＝4S△AOB＝4××62＝36 .
13．解：(1)AQ＝(6－t)cm，PB＝(12－2t)cm.
(2)若△APQ为等腰直角三角形，则AQ＝AP.
根据题意，知AQ＝(6－t)cm，AP＝2t cm，
则6－t＝2t，解得t＝2.
故当t＝2时，△APQ是等腰直角三角形．
(3)四边形APCQ的面积＝矩形ABCD的面积－三角形CDQ的面积－三角形PBC的面积，即四边形APCQ的面积＝6×12－t·12－×6×(12－2t)＝72－36＝36(cm2)．
可得结论：在点P，Q移动过程中，四边形APCQ的面积始终是矩形ABCD面积的一半．