湘教版数学八年级下册同步课时作业 2.6.2　菱形的判定（word版、含答案）

2.6.2　菱形的判定
知识点 1　四条边都相等的四边形是菱形
1．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是(　　)
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻折，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是____________________________．
3．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC.求证：四边形EFGH是菱形．
知识点 2　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．[2020南通]下列条件中，能判定 ABCD是菱形的是(　　)
A．AC＝BD B．AB⊥BC
C．AD＝BD D．AC⊥BD
5．如图，已知 ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝，OA＝2，
OB＝1，四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．
6．如图，在 ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF.
求证：四边形BFDE是菱形．
7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．40 B．24 C．20 D．15
8．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
9．如图，将△ABC沿着AC边翻折得到△ADC，且AB∥CD.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．
10．[2020娄底]如图，在 ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)判断四边形AECF的形状，并说明理由；
(2)求证：AE⊥DE.
11．如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，连接DE并延长交CB的延长线于点G，连接AG，BF.
(1)求证：DE∥BF；
(2)探究线段AG与线段BD之间的关系，并说明理由；
(3)若∠AGB＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
2.6.2　菱形的判定
1．B　[解析] 由作图痕迹，可知四边形ABCD的边AD＝BC＝CD＝AB，根据四条边都相等的四边形是菱形，可得四边形ABCD是菱形．
2．四条边都相等的四边形是菱形
3．证明：∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF＝AD.
同理可得GH＝AD，GF＝BC，HE＝BC.
又∵AD＝BC，∴EF＝GH＝GF＝HE，
∴四边形EFGH是菱形．
4．D
5．解：四边形ABCD是菱形．
理由：∵OA2＋OB2＝22＋12＝5，AB2＝()2＝5，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，即AC⊥BD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
6．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO.
∵EF为BD的垂直平分线，∴BO＝DO.
在△EOD和△FOB中，
∴△EOD≌△FOB(ASA)，∴OE＝OF.
又∵OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形．
又∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．
7．B　[解析] ∵AB＝AD，O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO.
∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．
∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积为×6×8＝24.故选B.
8．解：(1)证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，FE∥AB，
∴四边形BEFD是平行四边形．
(2)∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，
∴DF＝DB＝DA＝AB＝3.
又∵四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD是菱形，
∴四边形BEFD的周长为12.
9．解：(1)四边形ABCD是菱形．理由如下：
∵△ABC沿着AC边翻折得到△ADC，
∴AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC.
∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝8，OB＝OD，
∴在Rt△OCB中，OB＝＝＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴四边形ABCD的面积为AC·BD＝×16×12＝96.
10．解：(1)四边形AECF是菱形．理由如下：
设EF与AC交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE.
∵点E与点F关于AC对称，
∴OE＝OF，AC⊥EF，∴AE＝AF，CE＝CF.
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE(AAS)，
∴AF＝CE，∴AE＝AF＝CE＝CF，
∴四边形AECF是菱形．
(2)证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，
∴∠ACB＝30°，∴∠B＝60°.
∵AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ACB＝30°，则∠BAE＝60°，
∴∠BAE＝∠B＝60°，∴∠AEB＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
则AE＝AB＝BE，∴AB＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DCE＝180°－∠B＝120°，CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝30°，
∴∠AED＝180°－60°－30°＝90°，∴AE⊥DE.
11．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，即DF∥BE.
又∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF.
(2)AG∥BD，AG＝BD.
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥GC，∴∠DAE＝∠GBE.
又∵∠AED＝∠BEG，AE＝BE，
∴△AED≌△BEG(ASA)，
∴ED＝EG，
∴四边形ADBG是平行四边形，
∴AG∥BD，AG＝BD.
(3)证明：∵∠AGB＝90°，AE＝BE，∴EG＝EB.
又∵ED＝EG，∴ED＝EB.
又∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．