湘教版数学八年级下册同步课时作业 2.7　正方形（word版、含答案）

2.7　正方形
知识点 1　正方形的性质
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线平分一组对角
D．对角线相等
2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为(　　)
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
3．如图，在正方形ABCD中，F为CD边上一点，BF与AC交于点E，连接DE.若∠CBF＝20°，则∠AED＝________°.
4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE，连接BF，BE.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．
知识点 2　正方形的判定
5．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
6．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个能使菱形ABCD成为正方形的条件是______________．
7．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB.
求证：四边形OBEC是正方形．
8．如图，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D同时出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向点B，C，D，A移动．请判断四边形PQEF的形状，并说明理由．
9．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件：①AB＝BC，
②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
10．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________.
11．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE的最小值为________．
12．已知：如图，在菱形ABCD中，E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
13．如图①，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且
DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF，∠BCE＝∠DCF；
(2)如图①，若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
(3)运用(1)(2)中积累的经验和知识，完成下题：
如图②，在梯形ABCG中，AG∥BC，BC>AG，∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB上一点，且∠GCE＝45°，BE＝2，求GE的长．
2．7　正方形
1．D　
2．C　[解析] ∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，
∴AB＝AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ABE是等腰三角形．
又∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝15°.
3．65　[解析] 在正方形ABCD中，∠DCE＝∠BCE＝45°，CD＝CB.
又∵CE＝CE，
∴△CDE≌△CBE(SAS)，
∴∠CDE＝∠CBE＝20°.
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠CDE＋∠DCE＝65°.
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CB，∠A＝∠C＝90°.
在△ABF和△CBE中，
∴△ABF≌△CBE(SAS)．
(2)由已知可得正方形ABCD的面积为16，
△ABF的面积＝△CBE的面积＝×4×1＝2，
∴四边形BEDF的面积为16－2×2＝12.
5．D
6．答案不唯一，如∠BAD＝90°或AC＝BD
7．证明：∵BE∥AC，CE∥DB，
∴四边形OBEC是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC⊥BD，
∴OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是正方形．
8．解：四边形PQEF为正方形．
理由：由题意知AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，
∴AF＝BP＝CQ＝DE.
又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，
∴FP＝PQ＝QE＝EF，
∴四边形PQEF为菱形．
∵△AFP≌△BPQ，
∴∠APF＝∠BQP，
∴∠BPQ＋∠APF＝∠BPQ＋∠BQP＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形PQEF为正方形．
9．B
10.－1　[解析] 由题意易得∠CBD＝∠BCA＝∠ACD＝45°.∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝22.5°，∴∠BCE＝67.5°，∴∠BEC＝180°－∠CBD－∠BCE＝67.5°，
∴BE＝BC＝1.
在Rt△BCD中，∵BC＝CD＝1，∴BD＝，∴DE＝BD－BE＝－1.
11.　[解析] 如图，作点F关于AC的对称点M，
则点M在AD上，且AM＝AF＝2.
连接EM交AC于点P，
此时PF＋PE的值最小，最小值为EM的长．
过点M作MN⊥BC于点N.
由题意可知EN＝BN－BE＝AM－BE＝2－1＝1，MN＝4，
所以EM＝＝＝，所以PF＋PE的最小值为.
12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD.
又∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF.
在△BCE和△DCF中，
∴△BCE≌△DCF(SAS)．
(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．
理由：由题意易得AE＝OE＝OF＝AF，OE∥BC，
∴四边形AEOF是菱形．
又∵AB⊥BC，∴AB⊥OE，
∴∠AEO＝90°，
∴菱形AEOF是正方形．
13．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°，
∴∠CDF＝90°，
∴∠B＝∠CDF.
又∵BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF.
(2)GE＝BE＋GD成立．
理由：由(1)知∠BCE＝∠DCF，
∴∠ECD＋∠BCE＝∠ECD＋∠DCF，
即∠BCD＝∠ECF＝90°.
∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.
在△ECG和△FCG中，
∴△ECG≌△FCG(SAS)，∴GE＝GF.
∵GF＝DF＋GD＝BE＋GD，
∴GE＝BE＋GD.
(3)如图，过点C作CD⊥AG，交AG的延长线于点D.
∵AG∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝∠B＝90°.
∵CD⊥AD，
∴∠D＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
又∵AB＝BC，
∴矩形ABCD为正方形，∴AD＝BC＝6.
已知∠GCE＝45°，
根据(2)可知GE＝BE＋GD.
设GE＝x，则GD＝x－2，
∴AG＝8－x.
在Rt△AEG中，
由勾股定理，得GE2＝AG2＋AE2，
即x2＝(8－x)2＋(6－2)2，
解得x＝5，∴GE＝5.