湘教版数学八年级下册同步课时作业 2.6.1　菱形的性质（word版、含答案）

2.6.1　菱形的性质
知识点 1　菱形的定义
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，若利用菱形的定义判定四边形ABCD是菱形，则应添加的一个条件是___________________________________(填一个即可)．
知识点 2　菱形的性质
2．下列性质中菱形不一定具有的是(　　)
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．既是轴对称图形又是中心对称图形
3．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为(　　)
A．1 B. C．2 D．2
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是(　　)
A．8 B．7 C．4 D．3
5．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于点E，过点B作BF⊥CD于点F.
求证：AE＝CF.
知识点 3　菱形面积的计算
6．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为(　　)
A．3 cm2 B．4 cm2 C. cm2 D．2 cm2
7．已知一个菱形的两条对角线的长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为________cm2.
8．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，对角线AC，BD相交于点O.
(1)求对角线AC的长；
(2)求菱形ABCD的面积．
9．2020龙东如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为(　　)
A．72 B．24 C．48 D．96
10．2020邵阳如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，点E在CF上，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为________．
11．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝CE；
(2)当∠ABC＝60°，AE＝BE＝1时，求菱形的边长．
12．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB.
(1)求∠ABC的度数；
(2)如果AC＝4，求DE的长．
13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，等边三角形AEF绕点A旋转，AE与BC边相交于点M，AF与CD边相交于点N，连接MN.
(1)求证：∠DAN＝∠CAM；
(2)求四边形AMCN的面积；
(3)当∠BAM的度数为多少时，MN的值最小？
2.6.1　菱形的性质
1．答案不唯一，如AB＝BC
2．C　
3．C
4．A　[解析] ∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8.故选A.
5．证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴BA＝BC，∠A＝∠C.
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°.
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴AE＝CF.
6．D
7．24　[解析] 菱形的面积＝×6×8＝24(cm2)．
8．解：(1)在菱形ABCD中，AB＝BC，∠BAO＝∠BAD＝×120°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝4.
(2)由题意，知在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC＝4，
∴△AOB为直角三角形，AO＝AC＝2，
∴OB2＝AB2－AO2＝42－22＝12，
∴OB＝2 ，∴BD＝2OB＝4 ，
故S菱形ABCD＝AC·BD＝×4×4 ＝8 .
9．C　[解析] ∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.
∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH.∵OH＝4，∴BD＝8.
∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×12×8＝48.故选C.
10.　[解析] 如图，分别过点E，C作EH⊥AB，CG⊥AB，垂足分别为H，G.∵四边形ABEF为菱形，∴AB＝BE＝，∠ABE＝∠F＝30°，∴在Rt△BHE中，EH＝.∵AB∥CF，
∴CG＝EH＝，∴Rt△ABC的面积为××＝.
11．解：(1)证明：在菱形ABCD中，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE.
又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE＝CE.
(2)在菱形ABCD中，
∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝×60°＝30°.
∵AE＝BE＝1，
∴∠EAB＝∠EBA＝30°，
∴∠AED＝60°.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBE＝30°，
∴∠DAE＝90°，
∴DE＝2AE＝2，AD＝＝.
∴菱形的边长是.
12．解：(1)∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝DB.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB＝60°.
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°－∠DAB＝180°－60°＝120°.
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝AC＝×4 ＝2.
由题意及(1)可知DE和AO都是等边三角形ABD的高，∴DE＝AO＝2.
13．解：(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形．
∵△AEF是等边三角形，
∴∠DAN＋∠FAC＝∠CAM＋∠FAC＝60°，
∴∠DAN＝∠CAM.
(2)由题意及(1)，得∠CAM＝∠DAN，AC＝AD，∠ACM＝∠ADN，
∴△ACM≌△ADN，
∴S△ACD＝S△ACN＋S△ADN＝S△ACN＋S△ACM＝S四边形AMCN.
由△ACD为等边三角形，且AD＝AB＝4，
可求得S△ACD＝4 .
∴S四边形AMCN＝4 .
(3)由(2)得△ACM≌△ADN，
∴AM＝AN.
又∵∠MAN＝60°，
∴△AMN是等边三角形，∴MN＝AM.
当AM⊥BC时，AM的值最小，
即MN的值最小，此时AM平分∠BAC，
∴∠BAM＝30°，
即当∠BAM＝30°时，MN的值最小．